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Wenn e k eine v-fache Wurzel (v > 3) der Form f und zugleich eine }x- 
fache Wurzel ([x < v — 2) der Form cp ist, so sind die Laméscken Formen, 
welche durch die Gleichung: 
(/1, Fi-n) 2 = o n .Fi-n 
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definirt sind, einfach so ausgeartet, dass sie nach Multiplication mit dem 
ii _ 
Faktor (x 1 — e k x 2 ) i Lamésche Formen F liefern, welche der Gleichung ge 
nügen: 
(tn-j.il Fi-n+u)2 = <p„_ u _ i . Fj-n+jl , 
4 ' 4 
wo f — {x 1 — e k x 2 ) >J '.f gesetzt ist und cp eine gewisse, von cp, /', und (x 1 —e k x 2 ) 
abhängende ganze rationale binäre Form (n — ¡x—4)-ter Dimension bedeutet. 
Der Beweis dieses Satzes lässt sich beispielsweise leicht so führen, dass wir zur Form 
4) der nichthomogenen Lamé sehen Gleichung zurückgreifen und dort den Punkt e k in’s 
Unendliche werfen. Diesen Beweis wollen wir aber der Kürze halber überspringen. 
Für Lamésche Funktionen haben wir natürlich einen ganz ähnlichen Satz, in 
II u 
welchem statt {x x — e k x 2 ) T der Faktor (x — e k )* vorkommt. Ist insbesondere = oo, so 
fällt dieser Factor (für die nicht homogene Formulirung) überhaupt weg. 
Die hiermit besprochenen Specialisirungen werden wir weiter unten für den Fall n — 5 
noch näher betrachten (§ 6) und dort auch die besonderen Kamen nennen, unter denen 
diese specialisirten Funktionen bekannt sind. 
§ 4. Ueber die Behandlung der Potentialtheorie durch pentasphärische und 
cyclidische Coordinaten. 
Ehe wir zum Gegenstand dieses Paragraphen übergehen, wollen wir bemerken, dass 
die hier darzulegenden Methoden sich insofern von den gewöhnlichen Methoden der mathe 
matischen Physik unterscheiden, als wir zur Festlegung der Raumpunkte homogene Va 
riablen gebrauchen werden. Hierdurch führen wir keinen neuen Coordinatenbegriff, son 
dern nur eine neue Schreibweise ein, welche sich wegen ihrer Zweckmässigkeit bei allge 
meinen Untersuchungen über Transformation etc. schon in vielen Zweigen der Geometrie 
und Analysis eingebürgert hat, und mit gleichem Rechte ihre Stelle in der mathematischen 
Physik beanspruchen darf*). Die bezüglichen Methoden, über welche wir in diesem Para 
graphen leider nur kurz referiren können, gehen wesentlich auf zwei Koten von Herrn 
Darbaux zurück**). 
*) Man kann die vorhin besprochene homogene Form der L ameschen Differentialgleichung als ein 
Seitenstück hierzu betrachten. 
**) Comptes Rendus 1876, II. Bd. 83, p. 1037 und p. 1099.