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Zunächst fragen wir uns, wie das Potential überhaupt im Sinne der Geometrie der
reciproken Radien zweckmässigerweise zu behandeln ist. Wir wollen dabei der Kürze hal-
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her pentasphärische Coordinaten mit der Identität 2,3^ = 0 zu Grunde legen. Das Cha-
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rakteristische ist nun, dass wir statt der Potentialfunktionen Potentialformen studiren
werden, für welche der unendlich ferne Punkt nicht mehr ein ausgezeichneter Punkt ist,
wie dies bei den Potentialfunktionen als solchen der Pall ist. Indem ich wegen der Einzel
heiten auf die neu erschienene Schrift von Herrn Pockels*) verweise, gebe ich nur folgen
des Hauptresultat an:
Ist V eine beliebige Potentialfunktion, und setzen wir:
V = (S, • TTfo, ^3 5 »4, * # )
(wo 2.-^- = 0 die unendlich ferne Punktkugel bedeutet) so wird die Diffe-
rentialgleichung:
d 2 W d*W d 2 W d 2 W (HV _
dx\ + dx\ + dx\ dx\ + dx\
befriedigt sein, wie man auch W mit Hülfe der Identität 2.^, 2 = 0 umfor-
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men mag. Dementsprechend nennen wir W eine Potentialform.
Oder umgekehrt:
Jede Form — |-ter Dimension in den pentasphärischen Coordinaten,
welche der Differentialgleichung genügt:
d 2 W d*W d 2 W d 2 W d 2 W _
dx\ + dx\ + dxl + dxl + dx\ ’
ist eine Potentialform; d. h. liefert mit der £-ten Potenz der linken Seite
der Gleichung der unendlich fernen Punktkugel multiplicirt, eine Poten
tialfunktion.
Der Fortschritt, welcher in diesen Sätzen liegt, ruht zumal darin, dass die partielle
Differentialgleichung für W gegenüber beliebiger Kugelverwandtschaft ungeändert ihre Form
bewahren wird **).
Die nächste Aufgabe ist nun, an Stelle der pentasphärischen Coordinaten cyclidische
Coordinaten in die Gleichung der Potentialformen einzuführen. Dies ist aber offenbar nicht
ohne Weiteres möglich, da wir vier unabhängige Grössen nicht durch drei andere ersetzen
können; wir werden vielmehr, auf die Formeln von S. 23 Bezug nehmend, an Stelle der
*) „Ueber die Differentialgleichung du-\-lc 2 u = 0.“ S. 197 ff. (Leipzig, 1891).
**) Wegen des Zusammenhanges dieser Methode der Potentialformen mit Thomson’s Behandlung
der Inversion in der Potentialtheorie vergl. Darboux 1. c.
