38
pentasphärisehen Coordinaten zunächst die vier Variablen fr, v, p, o einführen müssen. Nun
können wir aber wegen der Homogenität von W schreiben:
W(Vö*!, W(X„ x„ . . . x s ).
und \J oa; n V 3 ^2 ) • • • V a sind direct durch g, v, p ausdrückbar. Wir können also setzen:
W(x t , x 2 . . . x a ) == o*. ^ ([T, v, p),
wo nun einer partiellen Differentialgleichung in Bezug auf fr, v, p genügen wird, während
für o geschrieben werden kann. Auf die Ableitung dieser Gleichung für <j> können
1
wir hier wieder nicht näher eingehen, fassen vielmehr die Eigenschaften dieses indem wir
der Deutlichkeit halber die Zwischenstufe der Potentialformen W ganz überspringen, mit
folgenden Worten zusammen:
Will man das Potential in cyclidischen Coordinaten beherrschen, so
setze man:
V =
$ (ft P)-
Dann genügt 4 1 der Differentialgleichung:
(p- v )^ + (P'-p)|^ + ( v -P')^ + (H'- v )( v -p)(p-f J ')[|(H' + v + P)-|2 < e.].^ = 0*),
unter w, v, w die Werthe verstanden, welche das hyperelliptische Integral
dl
= f
2\J{l-e 1 )...{l-e 6 )
für l = p, v, p annimmt.
§ 5. Ueber die Befriedigung der Potentialgleicliung durch Lame sehe Producte
in den Fällen I«), II«), III«).
Jetzt fragen wir uns, und dieser Gedanke ist für die weiter darzulegende Methode
der mathematisch-physikalischen Reihenentwickelungen fundamental, ob wir
*) Diese Gleichung wurde bereits von Herrn Wangerin an der in der Einleitung genannten Stelle
Crelle Bd. 82. 1876 abgeleitet; Herr Darboux bat dieselbe nur mit der Auffassungsweise der Geometrie
der reciproken Radien in die im Texte dargelegte Verbindung gebracht.