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eine ^-Funktion, welche der partiellen Differentialgleichung des vorigen Paragraphen genügt,
und also nach Multiplication mit dem Faktor
eine Potentialfunktion liefert, von folgender Form finden können :
^ (h p) = Ei O) • A 0) • E 3 (p)-
(also eine ^-Function, in welcher die drei Yariabelen p, v, p getrennt sind). Ein solches <|>
wollen wir ein Lamésches Product nennen, denn gerade diese Art von Fragestellung
ist der Ausgangspunkt von Lamé gewesen. Nun sieht man mit leichter Mühe, dass in der
That eine ^-Function der verlangten Art vorliegt, sobald die drei Faktoren E l , E 2 , E 3 alle
drei, jeder in Bezug auf die bei ihm vorkommende Yariable, einer und derselben Differen
tialgleichung genügen:
(wo A und E willkürlich zu wählende Constante sind, die aber für die drei Funktionen
E n jE 2 , E 3 dieselben sein müssen). Diese Differentialgleichung stimmt aber ohne Weiteres
mit Gleichung 3) S. 33 überein, sofern wir nur in letzterer n = 5 setzen. Wir gewinnen
also folgenden Satz :
Wir können einLamésches Product bilden, indem wir die drei Fakto
ren desselben als irgendwelche Lamésche Funktionen annehmen, die Par-
ticularlösungen einer und derselben Laméschen Gleichung n = 5 sind,
welche die Punkte e, . .. e 5 als einfache singuläre Punkte besitzt. Die ac-
cessorischen Parameter M, B der Laméschen Gleichung sind dabei kei
nerlei Beschränkung unterworfen.
So haben wir denn Potentialfunktionen von der Form gewonnen :
/ 2 — V
V = ( ) ■ EM ■ EM ■ EM
1
5 ^ ^
Dabei scheint die Cyclide 2, e.x\ = 0, welche in der Cyclidenschaar = 0 dem
Parameterwerth X = oo entspricht, bevorzugt zu sein. Nun wissen wir aber, dass jedenfalls
geometrisch diese Cyclide keineswegs ausgezeichnet ist, sondern dass man bei gegebener
Flächenschaar den Parameter X noch auf dreifach unendlich viele Weisen einführen kann und
insbesondere irgend welche Cyclide der Schaar dem Werthe X — co zuordnen kann. In