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der Fall ist. Vorab müssen wir aber Zusehen, was beim Grenzübergang aus denjenigen
Lamé sehen Gleichungen wird, welche den krummlinigen Coordinaten entsprechen, die in
den jedesmal verschwindenden Intervallen verloren gehen.
Wir wollen in dieser Hinsicht zunächst diejenigen Fälle ins Auge fassen, bei denen
eine Doppelwurzel (11) auftritt, bei denen also das Cyclidensystem durch einen Kugelbüschel
mit eigentlichem (nicht in einen Punkt ausgeartetem) Grundkreis ergänzt werden muss.
Um die Ideen zu fixiren, wollen wir die zusammenfallenden Punkte e x und e 2 nennen. Setzen
wir dann nach der S. 24 gegebenen Vorschrift:
e 2 — e x + s, X — e x + sV,
so nimmt die Lamé sehe Gleichung (Form 1 S. 32) folgende Gestalt an:
d 2 E f[(X') dE C
dX' 2 + 2f\(X’) dX'
wo wir der Kürze halber gesetzt haben:
fi (*') = 1), G =
■E = 0,
4f,(*')
j e, + j ( ß s + ß 4 + ß 5 ) d\ + A e, + E
(e—e 3 ) {e—e,) (e, —e 5 )
Diese Gleichung ist aber geradezu derjenige Specialfall von Gleichung 1) S. 32, wo n — 4,
e, = 0, e 2 — 1, e 3 — e 4 = oo. Nun wissen wir bereits, dass Lamösche Gleichungen
n = 4 sich mit Hülfe des Integrals t trigonometrisch lösen lassen. Dieses Integral t wol
len wir hier mit cp bezeichnen und setzen dementsprechend:
dX’
oder
/
2SjX\l-X')
X'
— are sin
sin o.
\JX' =
?
Die allgemeine Lösung unserer Differentialgleichung wird dann einfach:
E — L • sin (\JC • cp) + M cos (\/C • ?)•
Die hierdurch eingeführte Variable cp hat aber auch eine einfache geometrische Bedeutung^
sie stellt nämlich den Winkel vor, welchen die betreffende Kugel des Büschels mit der
Grundkugel x x — 0 macht*). Des Näheren liegen dabei die Verhältnisse folgendermassen:
wir bemerkten früher, dass einem einzigen Parameterwerth X' zwei ganze Kugelflächen un
seres Büschels entsprechen. Eine jede dieser Kugelflächen wird jetzt durch den Grundkreis
des Büschels in zwei Theile zerlegt. Die vier solcherweise demselben Parameterwerthe X'
entsprechenden Kugelstücke, erhalten jetzt bezw. die vier Parameterwerthe ± cp, tt + cp.
*) Dieser Winkel wird natürlich imaginär, sobald der Grundkreis des Büschels nulltheilig ist. Auf
diesen Umstand kommen wir später (Kap. III § 7) noch einmal zurück; im Texte denken wir uns der be
quemen Ausdrucksweise halber den Grundkreis eintheilig und den Winkel reell.
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