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den einzelnen Producten zusammensetzen kann, unsere Randwerthaufgabe*) 
für einen durchaus rechtwinkligen Körper löst, welcher von irgend wel 
chen sechs Flächen des Coordinatensystems begrenzt ist. 
Unsere Eintheilung ist jetzt folgende : 
Wir werden in §§ 4—5 dieses Kapitels das genannte Problem für den allgemeinen 
Fall behandeln, wo unser Körper von sechs verschiedenen confocalen Cycliden eines Systems 
I a) begrenzt ist (K) ; weiter werden wir in den darauf folgenden Paragraphen die Ausar 
tungen dieses Körpers kurz besprechen, wodurch wir eine Uebersicht über die ganze Theorie 
der Reihenentwickelungen der Potentialtheorie gewinnen werden. In der That lassen sich 
die grosse Mehrzahl der bis jetzt durch die Methode der Reihenentwickelung behandelten 
Körper, wie schon im Wortlaut der Preisaufgabe angedeutet ist, als Ausartungen des soeben 
erwähnten allgemeinen Körpers auffassen. 
Ehe wir aber (von § 4 ab) die genannten Potentialprobleme in Angriff nehmen, 
müssen wir vorab einige Eigenschaften der Laméschen Funktionen kennen lernen, welche 
wir später benutzen wollen. Die zunächst folgenden ersten Paragraphen können also als 
ein rein mathematischer Excurs angesehen werden **). 
§ 1. Allgemeines über den Verlauf der Laméschen Curven y = E (oc) bei 
beliebigem n und besondere Angaben für n = 4. 
In diesem Paragraphen werden wir der Einfachheit halber nur solche Lamé sehe 
Funktionen betrachten, welche n einfache singuläre Punkte besitzen. Ferner wollen wir 
annehmen, damit wir unserem physikalischen Interesse entsprechend ganz im reellen Ge 
biete bleiben können, dass nicht nur die Coefficienten der ausmultiplicirten Funktion : 
f(x) = (x-eJix-e,) ... (x-e n ) 
sondern auch die accessorischen Parameter der vorgelegten Lamé sehen Gleichung reell sind. 
Dem Gesagten zufolge werden die singulären Punkte unserer Gleichung, sofern sie nicht 
paarweise einander conjugirt imaginär sind, reell sein. 
Unter E eine beliebige reelle Lösung der Laméschen Gleichung verstanden, fassen 
wir jetzt die Curve y — E (oc) in’s Auge und betrachten zunächst ihren Verlauf für solche 
Werthe von #, welche von einem reellen singulären Werth e. nur wenig verschieden sind. 
*) Auch für die verallgemeinerte Randwerthaufgabe (vergl. S. 2) können Lame sehe Funktionen bis 
zu einem gewissen Grade in ähnlicher Weise verwendet werden, wie in dem im Texte ausschliesslich be 
sprochenen einfachen Falle. Eine analoge Bemerkung gilt für das Problem der Bestimmung des Poten 
tials räumlich vertheilter Massen. Hierauf können wir aber an dieser Stelle nicht näher eingehen. 
**) Der erste Ansatz für die Entwickelungen, welche hier in §§ 1 — 5 enthalten sind, befindet sich 
in dem schon citirten Aufsatz von Herrn Klein in Bd. 18 der Math. Anu.: „Ueber Körper, welche von 
confocalen Flächen zweiten Grades begrenzt sind.“ Die dort entwickelte Theorie wurde dann von Herrn 
Klein in seiner Vorlesung über L amesche Funktionen eben mit der Allgemeinheit vorgetragen, welche sie 
in den folgenden Paragraphen besitzt. Ich habe nur an einzelnen Stellen (namentlich in § 2) den Beweis 
gewissermassen neu gegliedert. Dagegen habe ich in §§ 6—7 der Theorie Neues hinzugefügt.