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Intervalles unendlich oft oscilliren. Wenn dagegen die Hülfsgerade der 
Laméschen Gleichung durch den dreifachen singulären Punkt der #-Axe 
selbst hindurchgeht, ist dies nicht mehr der Fall, und dementsprechend 
arten die Laméschen Funktionen n = 5 dann in der Weise aus, dass sie 
abgesehen von einem sich abtrennenden Faktor {x — dem Falle n — 4 
angehören. 
Jetzt gehen wir zu einer anderen Art von Specialfall über, indem wir unser eines 
Segment in ein solches nicht verschwindendes Intervall verlegen, welches an ein verschwin 
dendes Intervall anstösst, und nun den mehrfachen singulären Punkt, auf welchen sich das 
verschwindende Intervall zusammengezogen hat, als den einen Endpunkt unseres Segmentes 
wählen. Die Hülfscurve dieses Segmentes wird dann 
eine wesentlich neue Gestalt annehmen. Diese Gestalt 
wird durch die zweite der nebenstehenden Figuren ge 
zeigt, während die erste deren continuirliche Entstehung 
aus der gewöhnlichen Gestalt verständlich machen soll. 
Wegen dieser neuen Form der Hiilfscurven wird nun 
das Oscillationstheorem, wo auch das andere Segment 
liegen mag, nicht mehr allgemein aufrecht zu erhalten 
sein *), vielmehr sieht man sofort, dass es jedenfalls 
nicht mehr für alle Oscillationszahlen gelten kann. 
Schliesslich gehen wir zum Oscillationstheo 
rem für geschlossene Segmente über. Wir 
wollen hier Intervalle betrachten, welche von zwei einfachen singulären Punkten begrenzt 
sind**), und zwar mag das Segment dieses Intervall genau ¿ Mal umspannen. Hierdurch 
ist zunächst noch keine wesentliche Specialisirung eingetreten; wir wollen jetzt aber die 
zwei Endpunkte unseres Segments, welche schon zusammenfallen, ausdrücklich mit einander 
verschmelzen, d. h. wir wollen nicht mehr verlangen, dass die Lamé sche Curve an den 
beiden Enden des Segments verschwindende Ordinaten hat, sondern dass sie (nach 2¿-mali 
gem Durchlaufen des Intervalls) in sich selbst zurückläuft. Bei näherer Untersuchung kom 
men wir auf folgenden Satz : 
Wir können sämmtliche von einander linear unabhängige Lamé- 
sche Funktionen, welche nach ¿-maliger Umlaufung des Intervalles e ( e k 
in sich selbst zurückkehren und innerhalb des so beschriebenen ge 
schlossenen Segmentes 2ftMal***) verschwinden, dadurch bestimmen, dass 
*) Eine Ausnahme hiervon bildet nur der Fall, dass das andere von uns in Betracht zu ziehende 
Segment im verschwindenden Intervalle von liegt, wobei als Doppelpunkt vorausgesetzt sein soll. Die 
Hülfspunkte dieses Segments werden dann nämlich unterhalb von A liegen, so dass von ihnen immer noch 
eine und nur eine Tangente an die Hülfscurve der Figur gezogen werden kann. 
**) Bei einem mehrfachen singulären Punkte kann sich das Segment nicht umbiegen, sofern wir im 
Reellen bleiben wollen ; es ist dann also die Frage nach geschlossenen Segmenten gegenstandslos. 
***) Eine ungerade Anzahl von Verschwindungsstellen in einem geschlossenen Segmente ist unmöglich.