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Wir müssen liier das 
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langte, dass die drei Laméschen Funktionen E'(\x), E"(v), E'" (p) Zweige ein 
und derselben algebraischen Funktion von X seien*). 
Als zweites Beispiel nehmen wir einen Körper, welcher von sechs Flächen des Or 
thogonalsystems der gewöhnlichen Polarcoordinaten begrenzt ist. 
Schema Yd) der auf S. 18—22 gegebenen Tabelle zugrunde legen. 
Unser Körper wird dabei durch ein endliches Segment des Inter 
valles e 3 e 4 , ein Segment des verschwindenden Intervalles e 4 e 5 , und 
ein Segment des endlichen Intervalles e 2 e 3 charakterisirt sein, welch letzteres aber unendlich 
kurz ist und unendlich dicht an den Punkt e 1 — e 2 herangerückt ist. Das Segment v wird 
natürlich gewöhnliche Hiilfscurven besitzen und das Segment ¡x Hülfspunkte (vergl. S. 59). 
Das Segment p wird ebenfalls, wie man leicht sieht, obwohl es in keinem verschwindenden 
Intervalle liegt, Hülfspunkte besitzen. In den sechs Einzelproblemen also, in welche wir 
unsere Randwerthaufgabe spalten können, werden wir entweder beide accessorische Parameter 
sofort bestimmen können (falls nämlich 2 Hülfspunkte neben einander in Betracht kommen), 
oder, wenn Oscillation im Segmente v verlangt wird, doch nur eine transcendente Gleichung 
aufzulösen haben. 
Wir mögen nun insbesondere annehmen, dass unser Körper sich bis an die Spitze 
des Kegels, oder aber ins Unendliche erstreckt, sodass das Segment p eine endliche Länge 
bekommt. Es werden sich dann die Hülfspunkte dieses Segmentes, sofern man für dasselbe 
nur eine endliche Zahl von Oscillationen in Betracht ziehen will, in einen einzigen Punkt 
der Ordinate im Punkte e, zusammengehäuft haben, was die Aufstellung unendlich vieler 
verschiedener Laméscher Producte unmöglich macht. Daher müssen wir jetzt zu solchen 
Hiilfspunkten unsere Zuflucht nehmen, welche unendlich viele Oscillationen im Segmente 
p hervorrufen. Diese Hülfspunkte werden aber nicht mehr eine discrète sondern eine conti- 
nuirliche Mannigfaltigkeit bilden, nämlich die Ordinate des Punktes e x in ihrer positiven 
*) Was die ursprüngliche Schreibweise von Lamé angeht, vergi, man die Bemerkung auf S. 31. 
Andererseits bemerken wir, dass wir in unsere Formeln unter Beibehaltung der Annahme e x = oo die Be 
dingung e 3 +e 4 -t-e 5 = 0 einführen können, wodurch das zugehörige elliptische Integral t geradezu auf die 
Weier st rassische Normalform gebracht wird. Wir müssen aber beachten, dass wir dies nicht immer 
thun dürfen, sobald wir von unserem Falle zu den weiter ausgearteten Fällen durch Grenzübergang gelangen 
wollen. In der That können wir unter Festhaltung von e B + e 4 -j- e 5 = 0 nicht einen der im Endlichen 
gelegenen singulären Punkte ins Unendliche werfen, während die anderen zwei im Endlichen bleiben sollen, 
wie wir dies im Falle der Funktionen der zweiaxigen Cylinder thun müssten. Diese Unmöglichkeit hat 
Herr Häntzschel bemerkt (Dissertation, Berlin 1883, weiter ausgeführt in Schlömilchs Zeitschrift Bd. 31), 
aber da er sich nicht entschliessen konnte, von der We i e r s t r a ss ischen Normalform der elliptischen 
Integrale abzuweichen, kam er zu dem Schlüsse, dass die Funktionen der zweiaxigen Cylinder kein Special 
fall der Funktionen der dreiaxigen Flächen zweiten Grades sein könnten, und dass folglich alle früheren 
Mathematiker, namentlich Heine, sich in diesem Punkte geirrt hätten! 
Au dieser Stelle mögen auch die berühmten Resultate II e r m i t e s betreffend die Lösung der Lamé 
schen Gleichung mittelst elliptischer Funktionen erwähnt werden. Dieselben beziehen sich aber nur auf 
eine besondere Festlegung des einen accessorischen Parameters der Differentialgleichung (des Parameters d) 
und fallen daher nicht in den Bereich unserer Darstellung.