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Hälfte vollständig überdecken. Dementsprechend wird sich das eine Summen- 
zeichen in der Lösung unserer Potentialaufgabe in ein Integralzeichen 
verwandelt haben. Ein Specialfall des hiermit bezeichneten Problems ist von Herrn 
Mehl er*) behandelt worden, der die besonderen Kugelfunktionen, welche dabei auftreten, 
als Kegelfunktionen bezeichnete**). 
Wir kehren noch einmal zu dem Körper zurück, welcher von sechs beliebigen Flächen 
unseres Orthogonalsystems begrenzt ist, und bemerken, dass für ihn unsere Theorie im We 
sentlichen mit derjenigen übereinstimmt, welche Herr Thomson in dem schon erwähnten 
»Appendix B« der Naturai Philosophy gibt. Allerdings werden dort nur solche Körper aus 
drücklich erwähnt, welche von höchstens vier Flächen unseres Orthogonalsystems begrenzt 
sind. Immerhin bedarf es noch einiger Bemerkungen, um auch nur für diese besonderen 
Körper die in Rede stehende Uebereinstimmung hervortreten zu lassen, ebenso wie die Ueber- 
einstimmung unseres Ansatzes mit denjenigen Resultaten, welche Laplace ursprünglich für 
die Vollkugel abgeleitet hat***). 
Es handelt sich hauptsächlich darum, den Radius r der concentrischen Kugeln anstatt 
des imaginären Winkels einzuführen (vergi. S. 42), welchen diese Kugeln mit einander bilden 
(während wir den früher gleichfalls benutzten Winkel cp, den die Meridianebenen mit einer 
unter ihnen bilden, als Coordinate beibehalten). Wir setzen ferner e t — e 2 = oo, e s = 1, 
e 4 = e 5 = 0, und führen als unsere dritte Coordinate die halbe Winkelöffnung der am Coor- 
dinatensystem betheiligten Kegel ein, welche wir mit 1) bezeichnen wollen (so dass also 
v = sin 2 ff). Dann haben wir in r, cp, ff gerade die gewöhnlichen Polarcoordinaten, welche 
von Laplace und schliesslich auch von Herrn Thomson zu Grunde gelegt werden. Wenn 
wir nun näher Zusehen, so zeigt sich, dass die Faktoren in cp und ff, welche in unseren 
Lamé sehen Producten Vorkommen, mit den bei Herrn Thomson auftretenden entsprechen 
den Faktoren genau übereinstimmen. Allein es scheint zunächst eine Abweichung in dem 
Faktor vorzuliegen, der sich auf r bezieht. Herr Thomson findet nämlich für denselben 
die Form : Lr n + Jfr“*“ 1 , während wir andererseits zu der Gestalt geführt werden: Lr c + Mr~ c . 
Dieser Unterschied fällt nun einfach dadurch weg, dass unser Lamésches 
Product noch mit dem Faktor T zu multipliciren ist, und dass sich in un 
serem Falle dieses T auf r~~* reducirt. 
Schliesslich sollten wir eigentlich noch ein Beispiel anführen, bei welchem die Figur 
*) Math. Ann. Bd. 18 S_ 161. Vergi, auch die unmittelbar hierauf 1. c. folgende Abhandlung von Herrn 
C. Neumann. 
**) Diejenigen Funktionen nämlich, welche Heine in seinem Handbuche schlechtweg als Kugelfunk 
tionen (bezw. als zugeordnete Funktionen) bezeichnet, oscillimi nicht im Intervalle p; Herr Me hl er sah 
sich dadurch veranlasst, für seine Funktionen eine neue Benennung in Vorschlag zu bringen. 
***) Um die Randwerthaufgabe für die Vollkugel nach unserer Methode zu lösen, müssen wir offenbar 
im Intervalle v Oscillationen verlangen. Trotzdem lassen sich die beiden accessorischen Parameter der zu 
gehörigen (ausgearteten) Lamé sehen Gleichung ohne Auflösung einer transcendenten Gleichung bestimmen. 
Dies hängt damit zusammen, dass des Segment, welches im Intervalle v liegt, letzteres genau zweimal 
überdeckt.