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Veränderliche GrÖfsen, Gröfsenmengen. 
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so folgt leicht der nachstehende Satz: 
Wenn die Werthe einer von x abhängigen rellen stets posi 
tiven Gröfse y bei zunehmendem positiven x selbst wachsen oder 
abnehmen und in der einfach unendlichen Mannichfaltigkeit einen 
von den Stellen A und JB begrenzten continuirlichen Bereich con- 
stituiren, so ist y stetig veränderlich. 
Es nehme y mit x zu und x x und x 2 seien zwei Werthe von x 7 denen 
y x und ij 2 zugehören; ferner sei x x < x 2 und deshalb y x <y 2 . Be 
zeichnet dann x' einen in dem Intervall von x x bis x 2 liegenden Werth, 
so wird das zugehörige y' zwischen y x und y 2 liegen. Umgekehrt ge 
hört der zwischen y x und y 2 liegende y-Werth zu einem Werthe x 
des Bereiches mit den Grenzstellen x x und x 2 . — y x und y 2 bilden 
deshalb die untere und obere Grenze der Werthe y für x > x x resp, 
x < x 2 , d. h. y x ist die Grenze der Werthe y, wenn das in dem Inter 
valle von x x bis x 2 liegende x nach der Stelle x x convergirt und y % 
die Grenze der Werthe y, wenn x nach x 2 convergirt, aber dann hat 
y an einer beliebigen Stelle x 0 des Bereiches von x denjenigen Werth 
y 0 , für welchen |y — y 0 \ zugleich mit \x — ic 0 | unendlich klein wird, 
denn wie nahe an y 0 auch y = yf gewählt werde, es gibt unter den 
zu den Stellen der Umgebung von x 0 gehörigen i/-Werthen stets einen 
mit y 0 zusamraenfallenden oder zwischen yf und y 0 gelegenen Werth. 
Darnach ist y auch stetig veränderlich. — 
Daran schließen wir endlich eine Untersuchung über die von einer 
stetig veränderlichen complexen Gröfse x abhängige stetig veränder 
liche Gröfse y = f\x). 
Wir sagen: y ist in der Umgebung einer Stelle x 0 stetig verän 
derlich, wenn nach Angabe einer beliebig kleinen Gröfse d 0 eine solche 
Umgebung gefunden werden kann, dafs für jede Stelle x' derselben 
I /XaO - fixo) | < «V 
Ist hierauf y in einem continuirlichen, zweifach ausgedehnten Be 
reiche (A) deiinirt und wissen wir, dafs sie in der Umgebung jeder 
Stelle x 0 , die im Innern oder auf der Grenze eines dem Continuum 
(Al) angehörigen endlichen Bereiches (A') liegt, stetig veränderlich ist, 
so läfst sich zeigen, dafs y auch in dem ganzen Bereiche {A') stetig 
ist, d. h. man kann nach Annahme einer Gröfse d für jede Stelle x 0 
eine solche Umgebung ermitteln, dafs für alle Stellen derselben 
\f(x) — /(Ol < ä 
wird. 
Erinnern wir uns, auf welche Weise ein zusammenhängender Be 
reich (^4) deiinirt war, so können wir die folgenden Erwägungen an 
stellen: Sind a und b zwei Stellen innerhalb des Bereiches (A), von