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Zweites Capitel. 1. Abschnitt. 
denen h in der Umgebung B der Stelle a liegt, und ist Tt der Radius 
der bis an eine Stelle der Begrenzung von t (Ä) hinanreichenden, dem 
Bereiche (.Ä) angehörigen Umgebung von a, und bezeichnet d den 
absoluten Betrag | h — a |, d. h. den Abstand der beiden Stellen, 
so kann der Radius B A der bis an eine Stelle der Begrenzung von (H) 
hinanreichenden und (A) angehörigen Umgebung von h nicht kleiner 
J? It 
sein als B — d. Ist d < und darnach B i > - , so liegt a wieder 
in der Umgebung B¡ von h. Es muís umgekehrt 
B>B X ~ d 
sein und es folgt, dafs die Gröfse B i zwischen den Grenzen 
B, — d und B d 
liegt. *) 
Beachten wir jetzt, dafs sich der Radius B der bis an eine Stelle 
der Begrenzung von (A) hinanreichenden und dem Bereiche (A) an 
gehörigen Umgebung einer Stelle a dieses Bereiches bei stetiger Än 
derung von a selbst stetig ändert — wie die letzten Sätze leicht er 
kennen lassen —, so folgt, dafs die untere Grenze B 0 derjenigen 
Werthe B, welche der Halbmesser für die innerhalb und auf der Be 
grenzung von (A') liegenden Stellen annehmen kann, mindestens an 
einer Stelle erreicht wird und B 0 nicht Null sein kann. Theilen wir 
den Bereich (A') so in eine endliche Anzahl von Bereichen, dafs der 
Abstand irgend zweier einem Theilbereich entnommenen Stellen kleiner 
ist als B 0 , so liegt jeder Theilbereich in der Umgebung B 0 einer in 
demselben willkürlich gewählten Stelle x'. 
Die an jeder Stelle von (A') stetig veränderliche Gröfse y ist auch 
in dem ganzen Bereich stetig, denn nach Angabe einer Gröfse d genügt 
offenbar ein endlicher Theilungsprocefs an den gewonnenen Bereichen 
zur Herstellung neuer, für die \ f(x) — /’(# 0 ) | < d wird. Würde nämlich 
nur eine unendliche Anzahl neuer Theilungen zum Ziele führen können, 
so müfste der schliefsliche Bereich um eine Stelle x 0 kleiner werden 
als jeder beliebig kleine Bereich. Nun war aber vorausgesetzt, dafs 
sich eine endliche, wenn auch noch so kleine Umgehung von x 0 finden 
läfst, wo \f{x) — f{x 0 ) | < , und darum ist unsere Behauptung er 
wiesen. 
*) Weierstrafs, Abhandlungen aus der Functionenlehre S. 72.