Rationale ganze u. gebr, Functionen einer u. mehrerer Yariabeln. 
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f{x) = {x — x x ) {x — x 2 ) (p 2 (x, a5 1; a 2 ). 
Man überzeugt sich leicht, dafs cp 2 (x, x x ,x 2 ) als Function von x vom 
(n — 2) teo Grade ist und die Potenz x n ~ 2 wiederum den Coefficienten 
a 0 auf weist. 
Mau zeigt durch „den Schlufs von v auf v -f- l“, dafs dieser Be 
weisgang fortzusetzen ist, d. h. angenommen, die Gleichung f[x) = 0 
habe v Wurzeln x x , x 2 ,...x v und dieser entspreche eine Darstellung 
f{x) = {x —Xi) (x — x 2 ) . . . {x — x v ).(p v {x, Xi, x 2 ,... x v ), 
wo (p v eine ganze Function (n — v) len Grades ist, in der der Coefficient 
der höchsten Potenz a 0 ist, so gibt es in dem Falle einer (v -f- l) len 
Wurzel x v+ x eine Zerlegung 
f (pp) == ijX — X^ (X — X 2 ) . . . (X Xy) {x Xyj^i) (p v ^-i(x, Xi , x 2 ,. . . X v ^-i), 
wo die nach abnehmenden Potenzen geordnete ganze Function von x 
<p r+1 mit dem Gliede a 0 ic n—(v + 1) beginnt. 
In der That soll 
f(x v ^-i) = {x v -y\ Xi') (¿Í-V+1 2)... (x v ^-i x v ) cp v (x v ^-i, Xi, x 2 ,... x v ) 
verschwinden, so mufs (p v {x, x { , x 2 , ... x v ) für x = x v +\ Null sein und 
kann darum in das Product von (x — x v ) und einer ganzen Function 
des Argumentes x cp v +i(x, x x , x 2 ,... av+i) zerlegt werden. Das An 
fangsglied wird das bezeichuete. 
Indem aus der Annahme, dafs die in Rede stehende Zerlegung 
von f{x) im Falle von v Wurzeln gilt, die gleichartige Zerlegung bei 
v -f- 1 Wurzeln gefolgert werden kann, gilt dieselbe, welches auch 
die Anzahl der Wurzeln ist, denn die Darstellungen 
f{x) = {x — Xi).(pi{x, Xi) = {x — Xi) (x — x 2 ).y 2 (x } x l} x.¿) 
wurden bewiesen; nur kann nicht angenommen werden, dais die An 
zahl der Wurzeln einer Gleichung w ten Grades gröfser als n sei. Falls 
v — n gesetzt wird, ist 
f{x) = {x — Xi) {x — x 2 ) . . . (X — x n ).(p n {x, Xi, x 2 , ... x n ) 
und die ganze Function cp n besitzt das Anfangsglied a 0 x n ~ n — a Q x° 
= a 0 . Besäfse die Gleichung f{x)= 0 noch eine von den früheren 
verschiedene Wurzel x n +i,' so müfste = a 0 verschwinden und es 
entspränge eine ganze Function 
a { x 71 - 1 -f- a 2 x n ~ 2 -(-••• + a n , 
die für n Werthe x t , x 2 ,... x n verschwindet. Zerlegen wir dieselbe 
in das Product 
a, (x — Xi) (x — x 2 ) ... (x — x n -i), 
so wird ersichtlich, dafs dieses nur für x — x„ Null sein kann, wenn 
a, Null ist, nnd die ganze Function 
a 2 x’ l ~ 2 + a z x n ~ z -j- . . . a n