Rationale ganze u. gebr. Functionen einer u. mehrerer Variabein.
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chung mindestens eine Wurzel besitze. Wie man aber auch die Zer
legung in Factoren ersten Grades ausführen mag, sie ist nur auf eine
Weise möglich, wenn sie überhaupt existirt.
Ist nämlich auch
n
fix) = [JiPvX — q v ),
r — 1
wo p v und q v Cuustanteu bezeichnen, so mufs vor Allem
* *= P1P2 • • • P*
sein, und wenn a 0 nicht verschwindet, darf keine der Gröfsen p v Nult
sein. Setzt man nunmehr
n
f{x) -= a 0 . [J(x - |--) ,
V — 1 v
q
so verschwindet f\x) nicht blos an den Stellen —- (v — 1,2...n),
Pv
sondern auch au den Stellen x i ,x 2 ,.. .x n . Diese Worthereihen müssen
nach den früheren Sätzen übereinstimmen.
Nennen wir Frimfactor eine ganze Function ersten Grades, welche
nur für einen Werth der Variabein verschwindet oder nur eine Null-
steile hat, so können wir das dem Satze: Eine zusammengesetzte Zahl
kann nur auf eine einzige Art in das Product von Primzahlen zerlegt
werden, analoge Theorem für die ganze Function folgendermafsen aus
sprechen :
Eine ganze Function kann höchstens auf eine Art in das Fro-
duct von Frimfactoren zerlegt -werden.
Bei dieser Zerlegung können einige Primfactoreu öfter auftreten, daun
erhält f{x) die Form
f{x) = « () iX — Xf) ni ix — X.f) n - ... ix — Xmf m ,
wo die ganzen Zahlen n { , n,, . , . n m die Summe n besitzen. Hier heifst
x fl eine n^-fache Nullstelle der Function fix), denn n /jL Wurzeln der
Gleichung f\x) = 0 sind gleich x^ .
Aus der angenommenen Zerlegung der ganzen Function
n
fix) = «o fj ix - Xr)
V — 1
geht hervor, dafs man die Cooflicienteu der Function 1 fix) durch
ganze rationale Ausdrücke in den Wurzeln x [} x 2 ,...x n darstellen
kann. Die Ausführung der Multiplication und der Vergleich der (Jo-
efheienten gleichnamiger Potenzen in * (\x) und / / (a; x v ) ergibt
«0 II.
die Beziehungen: