Kationale ganze u. gebr. Functionen einer u. mehrerer Variabein.
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Producte
wie mau
Die An-
einführt
g ~ n
r Form
{x) die
3 ange-
Func-
nt, so
«n kann
gsopera-
zugeord-
so ist
(®—ii) («—§*)•••(«•— iv-i) (®—a*+i) •••(*“■ £«+i)
' W — (17- go (| v -1 2 )... (i v - l v _!) (£ v -£ r+1 ) • • • (6,-Sh-i)
diejenige ganze Function w len Grades von x, welche an den bezeich
nten Stellen | v die Vorgegebenen Werthe rj v erhält, denn in der vor
stehenden Summe ist der Factor von rj v für x = £„ gleich Eins und
der Factor von r} v ' verschwindet au dieser Stelle.
Diese Formel heifst die Lagrangc’sehe Interpolationsformel.
Diejenige ganze Function n lcn Grades, welche die w-fache Null-
stelle x = % besitzt und für ic = 0 den Werth r\ = (— l) w £ re annimmt,
erhält nun die Gestalt
f [ X ) = {x — |) n ,
sie ist die n iß Potenz eines Binoms (x — £), die wir mit Hilfe der
obigen Ausdrücke für die Coefficieuten der ganzen Function nach Po
tenzen von x ordnen können.
Setzt man in diesen Ausdrücken x x = x 2 = ... =x n = %, so wird
— (— l> ——_ und speciell — — (— l) ?l % n .
«o ^ f*! («— fO! 1 «o v
Da aber f{0) = a n den Werth (— l) n £ B haben soll, ist a 0 — 1.
Bezeichnet mau die Zahlencoefficienten
und nach Vertauschung von £ mit —£ entsteht die Formel
(a + ir = j X" + (“) Sa— + (”) 5* a— + •••
+ + ••• + («)?".
Mit Hilfe dieser Darstellung der n len Potenz eines Binoms oder des
sogenannten binomischen Lehrsatzes, den man unabhängig von der
*) Für die zufolge ihrer Definition durch
n(n — 1) . . . (w — ft + 1)
1.2 ... fl
das einfache Gesetz
GM ”) «*« (?)-(:)-*
gilt.