Vorrede. 
Ranges oder Geschlechtes einer algebraischen Gleichung nur theoretisch 
eingeführt. Ich konnte das umsomehr thun, da ich wohl algebraische 
Gleichungen zwischen eindeutigen transcendenten Functionen abgeleitet 
und dabei bemerkt habe, clafs algebraische Gleichungen verschiedenen 
Ranges durch eindeutige Functionen einer Variabeln zu lösen sind, aber 
die umgekehrte Frage nach denjenigen Functionen, welche eine vor 
gegebene algebraische Gleichung lösen, keine Behandlung finden konnte. 
In dem ersten Abschnitt des vierten Capitels, der gröfstentheils 
den Weierstrass’schen Vorlesungen entnommen ist, wird ferner die 
Darstellung von n durch n algebraische Gleichungen mit m unab 
hängigen Variabeln definirten Gröfsen behandelt und der Begriff eines 
analytischen Gebildes m ter Stufe in dem Gebiete von (n -f- m) Gröfsen 
entwickelt, doch bleibt die Frage nach der Monogenität des irreduc- 
tiblen algebraischen Gebildes höherer Stufe noch unberücksichtigt. 
In einem zweiten Abschnitte desselben Capitels ist dann gezeigt, 
dafs auch die durch ein System algebraischer totaler oder partieller 
Differentialgleichungen definirten Gröfsen wiederum nur analytische 
Functionen sind, wobei die Untersuchungen von Briot und Bouquet 
und der Frau von Kowalevski*) die Richtschnur bildeten. 
Ist auf solche Weise der Umfang des Begriffes der analytischen 
Function erfafst, so wird von einer mit einer unabhängigen Variabeln 
veränderlichen Gröfse, die besondere analytisch ausdrückbare Eigen 
schaften geniefst, von vornherein festgesetzt, dafs sie eine analytische 
Function sein soll. Unter dieser Festsetzung werden die gewissen ein 
fachen Functionalgleichungen genügenden transcendenten Functionen 
abgeleitet und zwar die Exponeutialfunction, der Logarithmus und die 
allgemeine Potenz, wobei sich Gelegenheit ergab, die trigonometrischen 
Functionen und deren Umkehrungsfunctionen zu berücksichtigen. 
ln dem weiteren Capitei ist das Problem der Ermittlung der arith 
metischen Abhängigkeit des Werthes einer eindeutigen Function einer 
Variabeln von dem Werthe der letzteren auseinandergesetzt, wenn für 
die Function ein Stetigkeitsbereich und das Verhalten der Function an 
dessen isolirteu Grenzstellen vorgegeben ist. Dabei habe ich die Dar 
stellung der ganzen Function durch ein Product von Primfunctionen 
vorangestellt und dann unter Anwendung des nach Scheeffer’s Vor 
gang bewiesenen Laure nt’sehen Satzes das Mittag- Le ff ler’sehe 
Theorem behandelt. Als Anwendungen werden die trigonometrischen 
Functionen in verschiedenen Formen dargestellt und die Weier- 
strass’sche ganze transcendente Function 6 (x) eingeführt. Dann 
wählte ich von den Untersuchungen des Herrn Mittag-Leffler noch