Rationale ganze u. gebr. Functionen einer u. mehrerer Yariabeln. 1]B 
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Die aus den Coefficienten der x x Potenzen in f und g gebildeten 
Coefficienten von cp, cp, & werden hierin gebrochene rationale Aus 
drücke sein können, aber es ist klar, dafs man & die Form 
• + @o 
k—1 
+ 
& k_ 
&o 
geben kann, wo die Coefficienten & k ganze Ausdrücke in den Yariabeln 
x z , ... x n sind. 
Wir denken die gemeinsamen Theiler dieser /¿-Functionen von {n— 1) 
Yariabeln weggeschafft, und bezeichnen: 
@0*1* + ®l *1* _1 +••• + ©* = ff {x x , X 2 ... X n ), 
dann erfordert die Voraussetzung, f besitze als Function von x x den 
Theiler ©, die Existenz einer Beziehung 
M{x 2 ,x % ... x n )f{x x , x 2 ... x n ) = N(x x y ^2 7 • • • ÖO71 ) ff (x t , x 2 ... x n ) , 
wo M und N ganze Ausdrücke bedeuten. Die Function M mufs in 
N oder ff als Theiler Vorkommen, kann aber nicht Theiler von ff sein, 
weil die Functionen & k keinen gemeinsamen Theiler mehr besitzen 
sollen, defsbalb wird 
f{x x , x 2 ... x n ) = ff (x x , x 2 ... x n ) F{x x , x 2 ... x n ) 
und entsprechend 
g{x x , x 2 ... x n ) = x 2 , ... x n ) Q (x 2 , x 3t ... x n ). 
Wir finden demnach, dafs &{x x , x 2 , ... x„) auch als Function von 
betrachtet gemeinsamer Theiler von f und g ist, sobald 
die Functionen & k von den gemeinsamen Theilern von (n—1) Va 
riabein befreit sind. 
Mau kann nunmehr die gemeinsamen Theiler zweier ganzen 
Functionen von n Yariabeln angeben, wenn man die Theiler von 
Functionen von (w — 1) Yariabeln zu finden vermag, und da die Lö 
sung dieser Aufgabe in dem Falle einer Yariabeln auszuführen ist, 
mufs sie allgemein möglich sein. 
Wir haben in ff {x x , x 2 , . . . x n ) den gröfsten Theiler von / und 
g angegeben, der alle gemeinsame Theiler dieser Functionen enthält, 
denn die Functionen P und Q erfüllen die Gleichung: 
tQ + cpP = l, 
die aussagt, dafs Q und P als Functionen der Yariabeln x x keinen 
gemeinsamen Theiler besitzen und dann können sie auch als Functionen 
von x v keinen gemeinsamen Theiler haben. — 
Ist die Function g nicht in f enthalten, wohl aber ein Theiler 
des Productes flc, so besteht eine Gleichung: 
<PV + = 1 , 
in welcher die Coefficienten von q) und cp den kleinsten gemeinsamen 
Biermann, Functionentheorie. 8