Rationale ganze u. gebr, Functionen einer u. mehrerer Yariabein. H7 
Andernfalls müssen wir zur Untersuchung der Beschaffenheit von 
F an der Stelle (a) eine lineare Transformation vornehmen, d. h. wir 
müssen F(x x , x 2 ,... x n ) in eine rationale Function neuer Variabein 
y lf VD-'-Vn um wandeln, die mit den ersten durch n lineare Glei 
chungen verbunden sind. 
Diese Gleichungen seien 
x v = cc vl y x -f a v2 y 2 + • • * + «rnVn (y *= 1, 2, ... n) 
und die Coefficienten seien nur den Beschränkungen unterworfen, dafs 
die Determinante 
I > ®12 * • * 
®21 ) ®”22 • • • 
ß-ral i • • Mnn 
von Null verschieden ist und in F{y x , y 2 ,. .. y n ) eine der Potenzen?/” 1 
(y — 1,2 . .. n) ein constantes Glied besitzt. Dann entspricht jeder 
Stelle (x) eine und nur eine Stelle {y) und umgekehrt, und in unend 
lich kleiner Umgebung der der Stelle (a) entsprechenden Stelle y v —h r 
{y = 1, 2,... n), an der f{y x ,y 2 ,...y n ) und g{y x , y 2 , . .. y n ) ver 
schwinden, gibt es Stellen h v -j- r\ v (y = 1, 2, ... n), wo /((?/)) Null 
wird und g{{y)) nicht verschwindet. 
Diesen Stellen entsprechen Stellen (a, -f- h) in unendlich kleiner 
Umgebung von (a), für die f{{x)) aber nicht g({x)) Null wird. 
Der obige Satz ist daher in allen Theilen bewiesen. 
Wir behaupten nun noch, dafs die rationale gebrochene Function 
in der Umgebung jeder unendlichen Stelle (x), die nicht Nullstelle des 
Nenners ist, eine stetig veränderliche Gröfse sei. 
In der That: bezeichnen zlf und zig die Gröfsen, um welche sich 
f und g ändern, wenn die Argumente x x , x 2 ,... x n in x x x 2 -\-h 2 , 
... x n -j- h n übergehen, so wird 
Í /¿|, X2 “I - h 2 1 • • • "f" hn) — -F(X\ •) x 2 j . • • x n ) 
4 F __ f g^f—f^g = g¿f— f¿9 _ g^f—f^s ¿¡ a 
g+jg g g % + g¿g <f gig 2 +g^g) J 
und es ist ersichtlich gemacht, dais mau /¡f und ¿úg oder die Gröfsen 
h x , h 2 ,... h n so wählen kann, dafs \ZlF\ kleiner wird als eine beliebig 
kleine Gröfse d, wofern nur g an der Stelle {x) nicht verschwindet. 
Die rationale gebrochene Function ist deshalb an allen Stellen des 
2n-fach ausgedehnten, im Endlichen gelegenen Bereiches stetig, mit 
Ausnahme der Nullstellen ihres Neuners.