Rationale ganze u. gebr. Functionen einer u. mehrerer Variabein.
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/(®+*W(®)+/ w >(»)t+/ w (®)|t + ■ • • + / w (*.)-sr
der Coefficient von h in dem entwickelten Producte
n
Anstatt aber dieses Product auszuführen und jenen Coefficienten heraus
zunehmen, bemerken wir, dafs man den Quotienten der ersten Ablei
tung und f(x) finden kann, indem mau den Coefficienten von h in
der rationalen Function
heraushebt. Da ergibt sich unmittelbar die Formel
n
f ix) = yi 1
fix) ^x-x v
oder
n
Hat die vorgegebene Function mehrfache Nullstellen und ist
m
m
so wird
m
Dieser Formel entnehmen wir die Beziehung:
m
m
... {x — x m ) = 0,
die wir in der Form
f (x) (pm — f ix) tprn-\ = 0
auschreiben, um auch gleich abzulesen, dafs f{x) und f (x) einen ge
meinsamen Theiler (n — m) ten Grades besitzen. Dieser Theiler heifst
m
(x x ft)
U = I
fizzzl
und darum wird die fache Nullstelle der Function f(x) eine (n^—1)-
fache Nullstelle der ersten Ableitung f (x).
Weil die v t0 Ableitung von f(x) die erste von f^ v ~^{x) ist, wird
ferner die n tl fache Nullstelle von f(x) eine (n^—v)fache Nullstelle der
v lea Ableitung.