Rationale ganze u, gebr. Functionen einer u. mehrerer Yariabeln.
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aus der die verlangten Summen successive hervorgellen, indem mau
m — 0, 1,2... setzt.
Alle Summen s k sind ganze rationale Functionen der Coefficienteu
a l} a 2 ,... a n , und umgekehrt die Coefficienteu ganze rationale Func
tionen von n Poteuzsummen s k (k > 0). —
Ist
f{x) — x n — 1,
so wird
• • — s k n — n
wo k irgend eine ganze Zahl bezeichnet, und die Summen von Po
tenzen der n Wurzeln der Gleichung f (x) = 0, deren Exponenten
nicht Vielfache von n sind, werden Null-
Unter dem früheren m kann man auch eine ganze negative Zahl
verstehen, nur folgen dann die Summen gleicher Potenzen mit nega
tiven Exponenten. —
Alle die genannten Summen
Sfx — xf L -(- x.f- + • • • -f- X%
bleiben als Functionen der n Gröfsen x x , x 2 ,... x n ihrer Form und
ihrem Werthe nach ungeändert, wenn man irgend welche Umsetzungen
der Gröfsen x 2 , ... x n vornimmt.
Ausdrücke von n Elementen x,, x 2 , . . . x n , die ihre Form bei
gegenseitigen Vertauschungen der Elemente nicht ändern, heifsen
symmetrisch.
Die Coefficienteu der Gleichung n len Grades
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sind solche symmetrische Ausdrücke der n Wurzeln, denn bei irgend
welchen Vertauschungen der Gröfsen x v in
geht jeder Summand in einen anderen über.
Der symmetrische Ausdruck erführt hei den Stellungsänderungen
der x v offenbar keine Werthänderung.
Umgekehrt ist eine ganze rationale Function f(x l , x 2 ,... x„) der
als veränderlich betrachteten Gröfsen , x 2 , ... x n in diesen symme
trisch, sobald sie bei beliebigen Vertauschungen der Gröfsen (x i , x, . . .
x n ) keine Werthänderung erfährt.*)
') Vergi. Netto’s Subetitutionentheorie.