Rationale ganze u. gebr. Functionen einer u. mehrerer Yariabeln. 
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als ganze rationale Function der Potenzsummeu oder der symmetrischen 
Functionen a 2 , ... darstellbar ist. 
Setzen wir voraus, dafs dieselbe ganze symmetrische Function 
f{x { , x 2 , . . . x n ) sowohl durch g x (a t , a 2 , . . . a n ) als auch durch 
g 2 (ay, a 2) . . . a n ) ausdrückbar sei, dann ist die Differenz 
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zwar für alle Werthesysteme (x) identisch Null, aber als Function der 
Greisen a soll sie nicht identisch verschwinden, denn sonst wären die 
Darstellungen für f gleich, 
Die genannten Eigenschaften sind nicht miteinander verträglich, 
denn die Umsetzung von <7i ((«))—# 2 (( a )) in eine Function der Gröfsen 
Xj, x 2 , . . . x n gäbe eine nicht identisch verschwindende Function, die 
für jedes Werthesystem (x) Null sein soll. 
Es gibt also nur eine Darstellung der ganzen symmetrischen Func 
tion f\x x , x 2 , . . . x n ) als Function der Gröfsen a,, a 2 , . . . a n , welche 
die elementar symmetrischen Functionen hei Isen. 
§ 25. Darstellung der rationalen gebrochenen Function 
einer Variabein durch Partialbrüche. 
Die oben gewonnene Formel 
7)1 
für den Quotienten der ganzen Functionen f'(x) und f\x) gibt die An 
regung zu der allgemeinen Aufgabe: 
Es ist der Quotient ganzer Functionen als Summe solcher ra 
tionaler gebrochener Functionen darzustellen, die einzeln an den 
Nullstellen des Nenners unendlich werden t oder, was dasselbe sagt, 
als Summe rationaler Functionen, deren Nenner die Primfactoreu 
des Neuners der vorgegebenen Function sind. 
Auch diese Aufgabe hat in der Theorie der rationalen gebrochenen 
Zahlen ihr Analogon. 
Zwischen zwei ganzen Functionen von dem n lcn und m ten Grade 
f n und g m {n > m) bestand eine Beziehung: 
fn Qm Pn—m "P Qm—X 
aus der wir ablesen, dafs der Quotient einer Function n lcn und m ten 
Grades: 
ln 3m—1 
als Summe einer ganzen Function vom (n — m) ten Grade und eines 
Quotienten darstellbar ist, in welchem der Grad des Zählers kleiner 
ist als der des Nenners.