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Zweites Capitel. II. Abschnitt.
Angenommen, dafs in einem solchen Quotienten —— der Nenner
g m als Product zweier ganzer Functionen gW und gW ohne gemein-
samen Theiler darzustellen sei, so kann mau die Function als
Summe zweier Quotienten ganzer Functionen ausdrücken, deren Nenner
beziehungsweise die Factoren g№ und g№ sind.
Die Gradzahlen von gW und g№ seien g und v (g -f- v = m),
daun kann man diesen Functionen und g<p zwei und nur zwei
Functionen 9? v _i und so zuordnen, dafs die Gleichung
<Pv-1 9^ + %-i 9™ = 1
besteht. Es existirt deshalb eine Relation der Form:
1
und dann wird
gm-i
Setzt man
Qm-l <Pv-1 = Fm-2 gf ] + Qv-l ,
= — P'm-2 gf + Qu-1,
so entsteht die Gleichung
gm- 1
9m
oder
Da aber die ganze Function q m -i nicht die Summe einer Function
2 (m—l) ten und zweier Functionen (w—l) ten Grades sein kann, mufs
hierin
identisch verschwinden, und es folgt, dafs eine echt gebrochene ratio
nale Function, (in welcher der Zähler von niedrigerem Grade ist als
der Nenner, und) in welcher der Nenner das Product zweier ganzer
Functionen ohne gemeinsamen Theiler ist, als Summe zweier echt ge
brochener rationaler Functionen dargestellt werden kann, deren Nenner
die genannten Factoren sind.
In der Gleichung
gm—i Qr-l |_ Q/U—l
sind die Functionen i, Q^-i höchstens von den bezeichneten
Graden. —