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Zweites Capitel. II. Abschnitt.
Will man die Coefficienten c x berechnen, so setze mau in der Gleichung
A- K
q m -x{x) = — £ x ) m *
9 X (X)
die angegebenen Ausdrücke für q„{x) mit den unbestimmten Coeffi-
cienteu ein, setze nach Ausführung der Multiplicationeu die Coefficien
ten gleich hoher Potenzen in q m _ t und in der ganzen Function rechts
einander gleich, so erhält mau zur Bestimmung der m Gröfsen c x m
lineare Gleichungen, deren Determinante nicht verschwinden wird,
weil es eine bestimmte Zerlegung für den Quotienten
Die rationalen Functionen
<l x (aQ
[x-
in welchen m x > l ist, kann man noch weiter zerlegen, was am ein
fachsten dadurch geschieht, dafs man
%
gibt.
{m x — 1)!
<1* ( x ) — #*(£*) + <?*(£*) ——- + • • • + q < ' my ' (£*)
setzt. Es wird dann
m x —1 N
Jt x («) _ S? % t
(« - t*)” 1 * '
Jetzt erscheint nachgewiesen, dafs der Quotient zweier rationaler
Functionen f n und g rn , deren Nenner die
w,, m 2 ,... fachen
x — a { , a,, . . . dk
Nullstellen
besitzt, auf die Form
= a 0 x n - m -j- a i x n ~ m + x -J-
+
+
fnjx)
9m&)
+
A Ü)
i
A a (1)
X — «j 1
(® — «i) 2
A t < 2 >
A 2 < 2 >
X — K 2 *
(® — «a) a
A.® ■
A # ®
(® — “d !
+
-f- a n —
Ai 1 »
7711
(x — a,)” 1 '
A (2)
m<2
(*-««)”*
.(*>
lw< /t
gebracht werden kann, wo neben den Coefficienten auch die Co
efficienten a 0 , ffln-m eindeutig bestimmt sind.
Im Falle einfacher Nullstellen erhält man die Formel: