Drittes Capitel.
I. Abschnitt.
Potenzreilien einer und mehrerer Yariaheln.
§ 26, Gleieh.märsige Convergenz.
Wie wir das System rationaler Zahleugröfsen verwandten, um die
allgemeineren irrationalen Gröisen zu definiren, wollen wir die ratio
nalen (ganzen und gebrochenen) Functionen zur Bildung neuer mit
den Yariabeln veränderlicher Gröisen benützen.
Verknüpft man rationale Functionen eine endliche Anzahl Male
durch die elementaren Rechnungsoperationen, so entstehen immer
wieder rationale Functionen. Um etwas Neues zu Tage zu fördern,
müssen wir eine unendliche Anzahl rationaler Functionen
/i(»), /2O), ••• fv(»), •••
vorlegen und diese verknüpfen, etwa durch Summation. Wir stellen
uns also geradezu die Aufgabe, die Summe unendlich vieler rationaler
Functionen
co
^ f v {x) — F{x)
v— 1
zu untersuchen.
Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dafs diese
Summe an einer Stelle x = x Q eine bestimmte (von der Anordnung
der Summanden unabhängige) Bedeutung habe, besteht in der Con
vergenz der Reihe der absoluten Beträge;
denn dann kann man nach Annahme einer beliebig kleinen Gröfse d
stets ein solches v — n ausfindig machen, dafs der absolute Betrag
jeder Differenz
sobald nur m> n ist.