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Drittes Capitel. I. Abschnitt, 
| X — # 0 1 < q 
genügenden Stellen x der absolute Betrag 
1 F{x) - F(x 0 ) | 
oder 
I (fl (*) - fl W) -1- (f 2 {x) — f 2 {xo)) H | 
kleiner wird als d und diese Bedingung braucht nicht erfüllt zu sein. 
Wenngleich der absolute Betrag jeder einzelnen Differenz {f v (x) — fv{pcf)) 
beliebig klein gemacht werden kann, ist durchaus noch nicht uoth- 
wendig, dafs der absolute Betrag der Summe unendlich vieler beliebig 
kleiner Gröfsen ö v endlich oder gar kleiner wird als d. 
Denkt man nach Fixirung eines endlichen Convergenzbereiches 
unserer Summe in jedem Punkte des Inneren und der Begrenzung ein 
Loth auf die Ebene der Variabein x errichtet und darauf eine Strecke 
anzusehen 
abgetragen, die als Maafs des absoluten Betrages Z o) 
I V 
ist, so kann es möglich sein, dafs um den Endpunkt jedes Lothes 
eine Kugel zu legen ist, welche keinen anderen Endpunkt enthält. 
Dieses Bild veranschaulicht, welch grofse Regellosigkeit in den Werthen 
fv (x) | selbst dann zurückbleibt, wenn wir annehmen, dafs ein 
Convergenzbereich existirt. 
Wir wollen die Convergenz der Summe fv{%) so beschränken, 
V 
dafs die durch dieselbe definirte Grofse F(x) ebenso wie die rationale 
Function stetig wird. Wir setzen fest: 
Die unendliche Reihe ^ f v {x) convergiré in einem Bereiche 
V 
(A) derart, dafs sich nach Annahme einer willkürlich kleinen posi 
tiven Grofse ö eine ganze Zahl m so bestimmen läfst, dafs der ab 
solute Betrag der Summe 
co 
V — 71 
für jeden Werth von n m und jede Stelle x des Bereiches kleiner 
wird als d. Daun heifse die Reihe in dem Bereiche (A) gleich- 
mäfsig convergent.*) 
So ist z. ß. die Reihe 
in dem durch die Bedingungen 
x\ = | < 1 
") Weierstrafs, Abhandlungen^aus der Functionenlehre S. 70.