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Drittes Capitel, I. Abschnitt. 
gebung einer der Umgebung R von a ungehörigen Stelle b innerhalb 
der Grenzen liegt 
R — d und R -{- d, 
wo d — | b — a | ist. 
Jetzt behaupten wir, dafs die Summe einer Reihe innerhalb ihres 
Bereiches gleichmäfsiger Convergens eine stetig veränderliche Gröfse ist. 
co 
In der That: ist a eine Stelle, in deren Nähe die Reihe 2 fv. 0) 
1 
gleichmäfsig convergirt, und ist d eine beliebig kleine positive Gröfse, 
die wir in die Summe von dj und d 2 zerlegt denken, so kann man 
eine ganze Zahl m derart angeben, dafs in gewisser Nähe von a der 
absolute Betrag von 
CO 
v = n 
kleiner wird als eine Gröfse s, sobald n > m ist, und 
co co 
yj (fv(») — fv{a)) < yj f v {x) 
+ 
< 
wird. Wählt man daun noch eine Umgebung von a so kleiu, dafs auch 
^ (A0*0 — fv{a)) 
< d 
wird, so ist die für die Stetigkeit von F{x) an der Stelle a noth- 
wendige Bedingung 
1 F{x) - *»1 < d 
erfüllt und die Behauptung erwiesen. 
Von einer unendlichen Reihe rationaler Functionen mehrerer Va- 
riabeln 
co 
f 7 *^2 y ' • ‘ ^'«) ==: 1- iß* 1 } *^2 7 • • • ^n) 
V—l 
sagt man ebenfalls, sie convergirt in einem 2w-fach ausgedehnten zu 
sammenhängenden Bereiche gleichmäfsig, wenn man nach Annahme 
einer beliebig kleinen Gröfse ö eine ganze Zahl m so angeben kann, 
dafs der absolute Betrag der Summe 
00 
v=n 
für jede dem Bereiche ungehörige Stelle (x) kleiner ist als d, sobald 
n i> m ist. 
Convergirt die Reihe in der Nähe einer Stelle {x) gleichmäfsig, 
so kann man, von diesem Bereiche ausgehend, ein 2w-fach ausgedehntes 
Contiuuum von Stellen finden, in deren Nähe die Reihe gleichmäfsig