Potenzreihen einer und mehrerer Variabein. 
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convergir!. In diesem Bereiche gleichmäßiger Couvergenz ist die durch 
die unendliche Reihe definirte Größe wieder stetig, denn man kann 
einer Stelle (a) dieses Bereiches eine solche Umgebung (d) zuordnen, 
daß für jede Stelle (a -f- h), wo 
1K1 < (v — l, 2 ... n) , 
der absolute Betrag der Differenz 
F{a x -f- , a 2 -f- h 2> . . . a n -j- h n ) — F(a l , a 2 , . . . a n ) 
kleiner wird als eine beliebig kleine vorgegebene Größe. 
§ 27, Potenzreihen. 
Wir beschäftigen uns nunmehr mit den aus unendlich vielen 
ganzen rationalen Functionen einer oder mehrerer Variabelu: 
/ r{x) = Cl v X v , X 2 . . . X ra ) = ^ .. . (x n X^'' x 2 fl - • • . x^n 
gebildeten Reihen: 
00 CO 
2 ÜvXV ’ 2 a Vu /*■■■ • • • K n > *) 
(v v ) = 0 
die nach ganzen positiven Potenzen fortschreitende Potenzreihen heißen, 
und mit 
P 0®) ) P (*^l i X 2 , . . • Xji) 
bezeichnet werden sollen. 
Soll die unendliche Potenzreihe an einer Stelle a oder (a) einen 
von der Summationsfolge unabhängigen endlichen Werth besitzen, so 
muß die Summe der absoluten Beträge der einzelnen Glieder an der 
genannten Stelle convergiren. Wenn diese Summe für das Werthe- 
system x — a respective x v — a v (v = 1, 2, . . . n) nicht endlich ist, 
kann die Summe umsoweniger an einer Stelle convergiren, für die 
\x\ > |aj oder \x v \ > \ a v \ (v => 1, 2 ... n) 
ist. Wenn aber in der Potenzreihe p(#) der absolute Betrag jedes 
Gliedes \a v x v \ für einen Werth von x mit dem Betrage | 0 endlich und 
deshalb kleiner bleibt als eine positive angebbare Gröfse g, so ist die 
Reihe für alle der Bedingung 
N = £ < io 
genügenden Werthe absolut und gleithmäfsig convergent. 
Der Voraussetzung zufolge ist 
| J == | ay j <c g> 
und daher 
\a v x v \ = \ a v 1 l v < g (|) V - 
*) Wo (fi v ) = 0 anstatt (i i} fi t , ... (i„ = 0 geschrieben ist.