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Drittes Ciipitel. I. Abschnitt. 
Weil dann 
und hierin ~ <1 ist, bleibt der absolute Betrag der Potenzreihe 
und die Reihe der absoluten Beträge der Glieder a v x v endlich, welches 
auch der Werth von \x\ — | < £ 0 sei. 
Die Potenzreihe ist in dem durch die Bedingung \x\ < £ 0 deti- 
nirten Bereiche auch gleichmäfsig convergent. Denn wenn eine be 
liebig kleine Gröfse d vorgegeben wird, so kann mau immer eine ganze 
Zahl m so bestimmen, dafs 
{n > m), 
indem in der Ungleichung: 
GC 
(i) 
n 
die rechte Seite durch passende Wahl von n der Forderung gemäfs 
beliebig klein zu machen ist. 
Die Potenzreihe iß (x) ist als gleichmäfsig convergeute Reihe in 
dem Convergenzhereiche stetig. 
Ertheilt man x einen besonderen Werth x 0 , so sind durch die ab 
soluten Beträge 
l^x^l {v = 0, 1, 2 . . .) 
unendlich viele positive Gröfsen definirt, welche eine obere Grenze be 
sitzen. Ist diese Grenze endlich, so convergirt die Reihe für jedes x, 
welches der Bedingung \x\ < |# 0 1 = £ 0 genügt. Nun sind auch un 
endlich viele Gröfsen £ 0 definirt, die selbst eine obere Grenze R haben, 
und solange \x\ < R, convergirt die Reihe. Ist aber \x\ > R, so 
divergirt die Potenzreihe, denn dann werden einzelne Glieder unendlich 
grofs. Für die durch die Bedingung \x\ — R charakterisirten Stellen 
kann die Reihe durchweg convergiren, oder divergiren, oder au ein 
zelnen Stellen divergiren und an anderen convergiren, darüber kann 
man hier nicht entscheiden. 
Der Convergenzbereich der Potenzreihe ist darnach in der 
Ebene der Yariabeln durch eine Kreisfläche mit dem Radius R um die 
Stelle x = 0 repräsentirt, und R heifst der Convergenzradius. 
Für die Potenzreihe iß (#j, x 2 , . . . x n ) bestehen analoge Sätze. 
Kann mau solche Werthe xf°\ ¿c 2 (0) , . . . x {< ff mit den absoluten 
Beträgen Ij* 0 ), | 2 ( 0) . . . augeben, dafs der absolute Betrag jedes 
Gliedes der Reihe für dieses Werthesystem kleiner bleibt als eine