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Drittes Capitel. I. Abschnitt. 
\%v\ < £ (0) , {v = 1, 2 . . n) 
absolut convergiren und man darf die Reihe nach den Gliedern glei 
cher Dimension + g 2 ~h ■ * • -f- (in = № ordnen. Ersetzt man hierauf 
x v durch c v x, {v — 1, 2 . . n), 
wo die von Null verschiedenen Gröfsen c v nur die Bedingung zu er 
füllen haben, dafs nach der Substitution die Coefficienten der Potenzen 
von x nicht alle verschwinden, so erhält man eine Reihe: 
QO 
^ Ä^x/* 
ft~ 0 
und für diese suche man ein m so, dafs für alle Stellen der kleinsten 
6<0) 
der Umgebungen -p— r der absolute Betrag jeder Summe 
l C v\ 
CO 
A^xf 1 {m' > m) 
ti—m 
kleiner wird als d. — Dann ist die Zahl m eine der verlangten Art. 
Ist £ (0 ) die kleinste der Gröfsen 1/°), . . ^ 0) und R ihre obere 
Grenze, so convergirt die Potenzreihe für alle Stellen des Bereiches 
| x v | < R (v = 1, 2, .. n) . 
Die Reihe convergirt möglicherweise auch für Werthesysteme 
(/y» /y> /y» \ 
V,**'! ? «^2 7 • • • '* / n) y 
für die 
|^i) > R, \x 2 \ > R, ... \x n -\ | > R, aber \x n \ < R . 
Wir schenken aber der eben definirten Gröfse R unsere Aufmerksamkeit, 
weil wir ^gerade diese den Convergenzradius nennen können und damit 
eine Bestimmtheit der Ausdrucksweise erzielen, wie bei der Potenz 
reihe einer Yariabeln. 
§ 28. Der wahre Convergenzradius einer Potenzreihe einer 
Variabein. 
00 
Wir kehren zu den Poteuzreihen ^ (x) — a v x v zurück und be- 
r = 0 
merken, wenn der absolute Betrag des Quotienten der Coefficienten 
aufeinanderfolgender Glieder —-— stets gröfser ist als eine noch so 
% + 1 
kleine aber endliche Gröfse r, so ist die Potenzreihe mindestens solange 
convergent als \x\ < r ist. 
Es folgt aus den Ungleichungen: 
«1 
C 
a t 
< —, ... 
a v 
«0 
r 
a, 
r 7 
a v-l 
< T 7 
durch Multiplication