Potenzreihen einer und mehrerer Variabeln. 
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— < -V oder \a v \r v < I« 0 1 
für jedes v, d. h. der absolute Betrag jedes Gliedes a v x v bleibt kleiner 
als die endliche Gröfse | a 0 |, wenn nur \x\ <^r ist, aber dann con- 
vergirt die Reihe für alle Werthe des durch die Bedingung \x\ < r 
bestimmten Bereiches. 
Der so gefundene Convergeuzbereich braucht nicht der „wahre“ 
zu sein, d. h. derjenige, welcher das Gebiet der Stellen, wo $(#) endlich 
ist, von dem Gebiete trennt, wo die Potenzreihe divergirt. 
Die Existenz dieses wahren Convergenzkreises ist uns zwar schon 
klar, doch wollen wir einen Beweis für dieselben erbringen. Wir be 
haupten also: 
Wenn eine Potenzreihe für gewisse Stellen endlich und für 
andere in gröfserer Entfernung von der Stelle x — 0 nicht endlich 
ist, dann gibt es einen wahren Convergenzkreis. 
Der Voraussetzung nach findet sich in der Reihe von Werthen: 
m w), $(2)...$(*)... 
ihn erster nicht endlicher z. B. *ß(w -f- 1), dann gibt es in der neuen 
Werthereihe 
?(«), 5p(» + -D, (» + -!-)• + ¥(« + !) 
wieder einen letzten endlichen Werth, er heifse ^) • Be 
stimmen wir ferner einen letzten Werth: 
i m i i 
nA (— 
1 m 1 
für welchen endlich ist, fahren so fort und nehmen gleich an, 
dafs wir durch eine endliche Anzahl von Successionen nicht zu dem 
wahren Convergenzradius gelangen, so haben wir eine Gröfse 
Jt = n -\ — 1 —| 1 —® (- 
I /m * vn£ I I 
definirt, die wegen der Beziehungen 
m L 1 tn l 1 w 3 
in ^ 7 m 2 m 7 m 3 
< 
I 
rn 2 
+ 
und der Ungleichung 
< w -j— 1 —J— f- —|—f- • • • = fi -| , 
1 1 m 1 »i 2 1 1 ( i 
m 
mit n endlich ist. Diese Gröfse ist der wahre Convergenzradius, denn 
nach Annahme einer willkürlich kleinen Gröfse 8 kann man stets eine 
ganze Zahl v so bestimmen, dafs