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Drittes Capitel. I. Abschnitt. 
wird, und 
ist noch endlich, aber für eine positive Gröfse x — R' > R kann die 
Potenzreihe nicht mehr convergiren. Man kann zwar die ganze Zahl 
v noch so wählen, dafs 
B + -^<B‘ 
m 
bleibt, aber der Definition von R zufolge kann ^ fE -(—~) nicht 
endlich sein. v 11 ' 
Der Kreis mit dem Radius R um die Stelle x — 0 hat demnach 
die Eigenschaft des wahren Couvergenzkreises. 
Eine Potenzreihe kann entweder für jeden endlichen Werth der 
Yariabeln oder beständig convergiren, dann ist der wahre Convergenz- 
radius unendlich, oder sie hat nur einen unendlichen Convergenz- 
bereich um die Stelle Null (der wahre Convergenzradius ist endlich), 
und schliefslich kann sie den Convergenzradius Null haben, wie z. B. 
die Reihe 
00 
$0) =2 n] 
x n — 1 x 2 \ x 2 3\ x* -)-•••• 
0 
n 
Wie klein man hier auch \x\ annehmen mag, die Werthe |n\ x n \ 
wachsen mit n ins Unendliche und der Quotient ——ebenso, daher 
ist R und natürlich auch r Null. 
Die Reihe 
convergirt jedenfalls für die Werthe x, deren absoluter Betrag kleiner 
ist als 1, denn der Quotient 
— n -1- 1 (w = 0,1,2...) 
* n\ )■■{ in 4- 1)! 
hat den kleinsten Werth 1. Der wahre Convergenzradius R ist 
aber gröfser als r — 1, und zwar unendlich, denn wie grofs man auch 
\x\ = % wählen mag, der absolute Betrag der einzelnen Glieder bleibt 
unter einer angebbaren Gröfse g. Man kann ja zu jedem endlichen 
Werthe £ ein n so bestimmen, dafs 
n ^ £ > n — 1, 
und dann bleibt der absolute Betrag jedes auf das n le folgenden Gliedes