Erstes Capitel.
Die Elemente der Arithmetik.
§ 1. Begriff der ganzen Zahl. Die directen Rechnungsarten
mit ganzen Zahlen.
Indem wir uns der Wiederholung ein und derselben geistigen
Thätigkeit an Dingen der sinnlichen Wahrnehmung bewufst werden,
gelangen wir zu dem Begriff der Menge. Besteht ein Gegenstand aus
Bestandtheilen oder Elementen von gemeinsamen Merkmalen, auf dafs
bei der Beschreibung des Gegenstandes ein Element für ein anderes
zu setzen ist, und abstrahiren wir von den gleichen Merkmalen der
Bestandteile, so besitzen wir die Vorstellung der Vielheit oder Menge
gleichartiger Elemente durch die Zahl.
Der Begriff der Zahl wird durch die Zusammensetzung von Gegen
ständen aus gleichartigen Bestandteilen gegeben und ist geradezu als
die Vorstellung der Vielheit gleichartiger Bestandteile zu defniren.*)
Indem man jedes der gleichartigen Elemente durch den Ausdruck
Eins bezeichnet, bestellt das Zählen der Elemente oder Einheiten der
Menge in der Eixirung von Eins und Eins — und Eins usw. durch
neue Ausdrücke zwei, drei usw. Die Zahl ist die Vorstellung der
durch diese Ausdrücke bezeichneten Gruppen von Elementen.
Die wiederholte Setzung und Vereinigung der zu Grunde gelegten
gleichartigen Elemente liefert die Zahlenreihe, und in dieser ist jede
Zahl aus der nächst vorhergehenden durch Hinzufügung von Eins
gebildet.
Zwei aus einem unbestimmt gelassenen Grundeleraente e oder der
abstracten Einheit 1 zusammengesetzte Zahlen a und h sind gleich
(■a = h), wenn zu jedem Element der einen Zahl ein Element der
andern gehört, und ungleich, wenn bei der Gegenüberstellung der
.Eleraentenreihen in der einen Elemente Vorkommen, denen in der
andern keine entsprechen. Die Zahl, welche mehr Elemente enthält,
*) Weierstrafs (siehe die Elemente der Arithmetik von Kossak).
Biormanu, Functionentheorie, 1