Potenzreilien einer und mehrerer Variabeln. 
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usw., wählt a v in dem Couvergenzkreise von i$ v ~i{x—a v —i), so folgt 
endlich eine Reihe: 
a n ) = ^>{x\a, a x , a 2 , ... a n ), 
die man eine durch Vermittlung der Stellen a x , a 2 , . . . a n aus (x j a) 
abgeleitete Heike nennt. 
Liegt die Stelle a x in dem Kreise H um a, a 2 in dem Kreise 
R — |«, —a| — R x um a x , a s in der Umgebung R x — \ a 2 — a x \=R 2 
von a 2 usw., endlich a n in dem Kreise irL-i — \a n -i— 2 1 = JB n 
von a n -1, so wird 
\a v — a| < H {v = 1, 2 . .. n), 
und daher gibt es auch eine direct ableitbare Reihe nach Rotenzen von 
(x — a n ) ip(x|a n ), die mit {x\ a, a x , a 2 , . . . a n ) identisch ist. 
Wir beweisen diese Behauptung für den Lall n — 2. 
Die Reihen ip(a;|a) und ^{x\a, a x ) stimmen an allen Stellen der 
Umgehung R 2 von a 2 überein, d. h. sie nehmen dort dieselben Werthe 
an, ebenso '${x\a, a x ) und *P(a;|a, it,, a 2 ) und folglich auch sp(a;|a) 
und a x , a 2 ). Die Reihen *p(a;|a) und Sß(®|a, a 2 ) besitzen 
aber an allen Stellen des Kreises R — \ a 2 — a\ um a 2 ebenfalls die 
selben Werthe und nun ist klar, dafs die beiden Reihen ^{x\a 7 a x , a 2 ) 
und S${x\a, a 2 ) an unendlich vielen Stellen jeder Umgebung von a 2 
übereinstimmen, und es wird in der That 
SP(#|a, a 2 ) = ^{x\a, a 2 ), 
und allgemein 
^{x\a, a n ) = ^{x\a, a x , a 2 , ... a n ). 
Aus diesem Satze geht gleichzeitig hervor, dafs der wahre Couvergenz- 
kreis einer aus a x ) abgeleiteten Reihe $p(a:|a, a x , a 2 ) den Con- 
vergenzkreis von *p(#|a, a x ) keineswegs von innen berühren mufs, 
denn der Convergenzradius von ^{x\a, a 2 ) ist zum mindesten 
R — \ a 2 — a |, 
und er wird greiser sein als 
R 2 — R\ I Q‘\ I — R |öj a | — | a.) — a x | , 
wenn 
\a 2 — a x \>\\a 2 — a\ — \ a x — a\\, 
und ebenso wird der Convergenzbereich von $P(a?|a, a x ) nicht in dem 
Kreise R um a liegen müssen. Wir konnten eben nur beweisen, dafs 
er mindestens bis au den Kreis R hinanreicht. Es wird uns alsbald 
gelingen, ein Kriterium für die wahre Convergenzgrenze zu erkennen. 
Zunächst zeigen wir: Wenn man aus {x|a) eine Reihe $p{x|a, b) 
direct abzuleitcn vermag, so kann man umgekehrt auch ip {x (a) aus 
•p (x | a, b) ableiten. 
Falls die Stelle a dem Convergenzbereiche der Reihe ^p(#|a, b) an