Potenzreihen einer und mehrerer Yariabeln. 165 
<5 c l) = <a), C, Cj) = 5ß,(«| b, C x ) 
und wegen der Identität 
• ^{x\a, c, c x ) = ^{x\b, c, c x ) 
mufs 
$(#!«, c,) = $ (a? ] 6, c,) 
sein usw, — 
Heilst der wahre Couvergenzradius einer Reihe ^ {x — d) R und 
ist a x eine dem Couvergenzbereiche angehörige Stelle in der Entfer 
nung d — | «j — a| von a, wobei sein mag, so ist der Con- 
vergeuzradius R x von ^(a.'|6í,aj) gewifs nicht kleiner als 11 — d, d.h. 
gröfser als , und daun liegt a in dem Convergenzkreise der abge 
leiteten Reihe. Weil man hierauf ip(x \a) wieder aus ^{x\a, a t ) ab 
leiten kann, ist R nicht kleiner als R x — d, und somit besitzt der 
Radius der abgeleiteten Reihe die Grenzen 
R — d und R -f- d. 
Wählt man die Stelle a x in einer Entfernung d von a, die gröfser 
ist als — , so bleiben diese Grenzen für R x erhalten; die untere 
Grenze ganz offenbar und die obere Grenze darum, weil mau andern 
falls aus a x ) eine Reihe 
a x , b x , b. 2 , . . .b n ,a) 
ableiten könnte, die mit (¿c| a) übereinstimmt, aber nicht den ange 
nommenen Couvergenzradius R hat. 
Weil d die obere Grenze R besitzt, sind die Grenzen der Couver- 
geuzradien aller abgeleiteten Potenzreihen 
0 und 2 R. 
Der wahre Couvergenzradius R einer Potenzreihe iß (x—a) ist geradezu 
dadurch charaJcterisirt, dafs die untere Grenze der Convergenzradien 
der abgeleiteten Reihen Ntdl ist, das will sagen: wenn die untere 
Grenze nicht Null ist, so ist der Couvergenzradius nicht R, sondern 
gröfser als R. 
Um das zu beweisen, setzen wir als bekannt voraus, dafs eine 
gegebene Reihe 
v — 0 
für alle Stellen a der Umgebung R von x = O convergiré, dann ist 
für alle der Bedingung 
I a 1 -f” 1 x 1 
genügenden Werthe von x und a die Reihe 
sp(*-o) = V(<*) + sp'{«) X C + W 3 '+ ■ • •