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Drittes Capitel. I. Abschnitt. 
convergent. Ferner sei die untere Grenze der Convergenzradieu dieser 
für alle Stellen der Umgebung R von x=0 abgeleiteten Reiben nicht 
Null, sondern r. Wir wollen zeigen, dafs in diesem Falle die Reihe 
$(#) den wahren Convergenzradius R -f- r besitzt. 
Es sei q < r und x eine Stelle in dem durch die Radien R und 
R + 9 definirten Kreisringe um die Stelle x = 0, also: 
R <C \x | <C R -f- q, 
daun hat der durch die Bedingung 
1 X — x' 1 < r 
definirte Bereich um die Stelle x mit der Umgebung R von x = 0 
einen Bereich (.4) gemein und zu einer Stelle a in diesem letzteren 
gehört eine Reihe deren Convergeuzradius nicht kleiner ist 
als a. Der Kreis r um a enthält die Stelle x und ?ß[x\a) hat einen 
bestimmten Werth. 
Ist h eine zweite Stelle innerhalb {A), so hat auch S 4$(V|Z>) einen 
bestimmten Werth. Weil aber die um die Stelle 
c = —{a h) 
gütigen Reihen $(;z\a,c) und c) mit 5]S(a;|c) und somit unter 
einander übereinstimmeu, so nehmen die Reihen und $(#(&) 
an allen Stellen ihres gemeinsamen Convergenzbereiches und auch an 
der Stelle x — x’ dieselben Werthe an, es ist also 
5p(#'|a) = &). 
Jetzt ergibt sich leicht, dafs die gegebene Reihe iß(a;) auch noch 
für x — x' convergirt. 
Die Reihe ^(#|a) ist der Voraussetzung nach convergent, wenn 
1 a | < R und | x — a | < r. 
Bezeichnet dann g die obere Grenze der Werthe | (x | a) | für alle 
Stellen der Kreislinie | x — a | = q, so ist 
Jr I SP w (a) I = 
und hierauf 
— 1) • • • (fi — v -f- 1) c h a^~ v 
fX — V 
<UQ~ V , 
oder 
Bezeichnet man 1 a | mit a und bildet die Summe 
„)\ c n\ ) — ati m 0 + u 1 > 
so ist diese wegen der letzten Ungleichung