Potenzreihen einer und mehrerer Variabein. 
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und wenn somit die Gröfsen 
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für jedes p. kleiner bleiben als eine angebbare Gröfse, mufs die Reihe 
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für alle Werthe von x, deren absoluter Betrag 
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convergiren. Da a dem Werthe R beliebig nahe kommen kann, wird 
der Convergenzradius von wirklich gröfser als R und wird von 
R -f- q und R -f- r beliebig wenig abweichen. Daun mufs er aber 
gleich R -j- r sein, denn der Convergenzradius kann seiner Natur zu 
folge einer oberen Grenze nicht blos beliebig nahe kommen, sondern 
er hat ein Maximum. 
Es sei nunmehr R der wahre Convergenzradius einer Potenzreihe 
um die Stelle 0 oder a oder oo — sie heifse 
^ 0*0 > — a), $ {x — oo) = ^ ( l x ) 
— dann haben die Convergenzradien der abgeleiteten Reihen nothwendig 
die Null zur unteren Grenze. Es existirt deshalb eine Stelle, in deren 
noch so kleinen Umgebungen Stellen der Beschaffenheit liegen, dafs 
die ihnen zugehörigen abgeleiteten Reihen einen Convergenzradius 
besitzen, welcher kleiner ist als eine beliebig kleine Gröfse. Diese 
Stelle kann nicht im Innern des Convergeuzkreises der vorgegebenen 
Reihe und mufs daher auf der Begrenzung liegen. 
Wir können noch sagen, dafs es auf der wahren Grenze eines 
Couvergenzbereiches mindestens eine Stelle c geben mufs, in deren 
Umgebung keine Potenzreihe iß'(#|c) existirt, die an den Stellen des 
dieser und der gegebenen Reihe gemeinsamen Couvergenzbereiches mit 
der letzteren ttbereinstimmt, denn gäbe es für jeden Punkt der Be 
grenzung eine solche Reihe, so könnten die Convergenzradien der aus 
der ursprünglichen abgeleiteten Reihen nicht die untere Grenze Null 
haben. Die Anzahl solch ausgezeichneter Punktfe c kann endlich oder 
unendlich sein, ja es ist denkbar, dafs alle Stellen der Begrenzung 
eines Couvergenzbereiches von der genannten Art sind. Wenn eine 
unendliche Menge von Punkten c auf dem Convergenzkreise liegt, sind 
die Stellen der abgeleiteten Punktmenge Stellen gleicher Art, denn 
diese sind dadurch defiuirt, dafs in jeder Umgebung derselben uueud-