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Drittes Capitel. I. Abschnitt. 
lieh viele der gegebenen Stellen liegen. Die Stellen, in deren Umge 
bung keine Potenzreihen existiren, welche mit der gegebenen Reihe 
an den Stellen des gemeinsamen Convergenzbereiches übereinstimmen, 
constituiren somit eine abgeschlossene Punktmenge. 
Die den letzten entsprechenden Betrachtungen über die Potenz 
reihe mehrerer Variabelu 
*ß OU > ) • • • %n ( (n)) 
fassen wir kurz zusammen. 
Man kann durch die Substitutionen 
d v — a v + {x v — dy) {y = 1,2,... n), 
wo (a') eine Stelle in dem durch die Ungleichungen 
| x v — ciy | < B (v = 1,2,... n) 
charakterisirten Convergenzbereiche der gegebenen Reihe ist, vor Allem 
neue Potenzreihen 
$i(®u x 2 ,.. ,x n \ (o')) °der x 2) ... x n \ (a); (a')) 
ableiteu. Der Coefficient der Reihe 
^ -ßi (*^i > ... x n \ (¿i )) 
./‘«•••■/‘n (®i— a \Y i i x 2 - • • • On — 
= o 
ist der Werth der Ableitung 
yi+^+-+M,^ (a;i , Xz ,...x n \ ja)) 
ddddxVp . ..dä%* 
au der Stelle («'). 
Wählt man in dem Convergenzbereiche der abgeleiteten Reihen 
mit dem Radius 11 x eine Stelle («") und liegt diese in dem Couver- 
genzbereiche von üß, so gibt es eine indirect und eine direct abgeleitete 
Reihe 
ßOi> x 2 ,... x n | (o), (o'), («")) und Spfo, x,,... x n | (o), (o")), 
die wieder identisch sind. 
Fallen die Convergenzbereiche zweier Potenzreihen 
ß Oi, x 2 ,... x n | (a)), Oi, #2,.. • x n | (6)) 
theilweise zusammen und stimmen sie au unendlich vielen Stellen, 
welche eine Häufungsstelle (c) haben, überein, so werden die Potenz 
reihen 
ß (x t , X-2 ,.. • x n ((a), (c)) , ßj Ol , #2 > • • * I (&) ; (c)) 
identisch und die gegebenen Reihen stimmen an allen Stellen des ge 
meinsamen Convergenzbereiches (A) überein, in deren Umgebungen 
aus ßOi> x 2 ,... x„((o), (c)) abgeleitete Reihen existiren.