Drittes Capitel. II. Abschnitt.
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Bezeichnet man den Convergeuzradius von , x 2 , .. . x n \(a), (c))
mit p und wählt man eine Stelle (c') so, dais
1 c v — C v | < Q (v = 1, 2,... n),
so werden die gegebenen Reihen jedenfalls au allen Stellen derjenigen
Umgebung von (c) übereinstimmen, welche dem Bereiche (A) und dem
Convergenzbereiche von iß (x if x 2 ,... x,,|(a), (c), (c')) angehören. So
fortfahrend findet man ein 2 n fach ausgedehntes Continuum, wo die
Reihen iß und iß! übereinstimmen.
Ist der wahre Couvergenzbereich einer Potenzreihe wieder durch
die Gesammtheit der den Bedingungen folgender Art
\x v — a v \ < 11 (v = 1,2,... n)
genügenden Werthsysteme (x) definirt, für welche iß {x 1 , x 2 ,. .. x n \ {a))
couvergirt, indefs die Reihe für jedes Werthesystem:
| x f — a v | > JR (v =x 1, 2,... n) ,
divergirt, so mufs er dadurch charakterisirt sein, dafs unter den
Stellen (x), für die
\x v — a v \ = li (y = l,2,...ri)
ist, mindestens eine existirt, in deren Umgebung keine Potenzreihe
iß ' {x x , x. 2 , .. . x n | (c)) aufzustellen ist, die an den Punkten des dieser
und der gegebenen Reihe gemeinsamen Convergenzbereiches mit der
letzteren übereinstimmt.
Die untere Grenze der Convergenzradien der abgeleiteten Reihen
ist Null.
II. Abschnitt.
Begriff der monogeiien analytischen Function.
Allgemeine Eigenschaften der analytischen Function einer Variabein.
§ 33. Definition der rnonogenen analytischen Function.
Überblicken wir die Sätze über die convergenten Potenzreihen
einer Variabein s ,ß(#—a), so ist vor Allem hervorzuheben, dafs der
Couvergenzbereich (A) ein Kreis um die Stelle a ist, an dessen Stellen
die Reihe einen bestimmten endlichen Werth annimmt, stetig ist und
Ableitungen aller Ordnungen besitzt. Jede Ableitung ^ß( ra )(a; — d) ist
innerhalb des Convergenzkreises der gegebenen Reihe convergent.
Darnach verhält sich eine Potenzreihe dort, wo sie eine Bedeutung