Begriff der monogenen analytischen Function. 
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Die einzelne Reihe heifst ein Element der Function und durch ein 
Element ist die Function vollständig defiuirt, denn man kann alle 
Fortsetzungen desselben ableiten. 
Ist x 0 irgend eine Stelle im Bereiche der unbeschränkten Variabeln 
und kann man aus einem primitiven Elemente ß(ic|a) eine Reihe ab 
leiten, deren Convergenzkreis die Stelle x 0 enthält, so nennt man den 
Werth der neuen Reihe für x — x 0 den Werth der durch ß(#|ct) de- 
finirten Function an der Stelle x 0 . Indem es aber dann eine nach 
Potenzen von (x — x 0 ) fortschreitende Reihe gibt, ist der Werth der 
Function für x — x 0 auch als das Anfangsglied dieser Reihe ß, (x\x^) 
zu definiren. 
Wenn der Convergenzbereich jeder aus dem primitiven Elemente 
ß (x | a) abgeleiteten Reihe ganz dem Convergenzkreise dieses Elementes 
angehört, so stellt dasselbe allein eine analytische Function dar, d. b. 
die arithmetische Abhängigkeit des Werthes der Function von dem 
der Variabeln ist durch die Reihe ß(# \a) allein ausgedrückt, denn die 
abgeleiteten Reihen nehmen keine Werthe au, die nicht auch jene 
besitzt. Ist h eine Stelle in dem Convergenzbereiche von iß (x | a), 
so wird 
[iß (x\a, &)] == ß (h | a). 
x = b 
Hat hingegen das primitive Element ß(a;|a) Fortsetzungen, so 
wird die durch dasselbe definirte Function durch die Gesammtheit ihrer 
Elemente dargestellt. 
Den Übergang von dem gegebenen Elemente ß(#|a) zu einer 
Reihe ß, (x\x 0 ) kann man auf unendlich verschiedene Weise durch 
Vermittlung verschiedener Stellen bewerkstelligen. Gelaugt man auf 
den unendlich vielen von a nach x 0 führenden continuirlichen Wegen 
in dem Bereiche der Variabeln x und in dem Convergenzbereiche der 
Gesammtheit von Elementen stets zu derselben Reihe, so hat die Func 
tion an der Stelle x 0 einen Werth; besitzt sie an jeder Stelle, in deren 
Umgebung überhaupt Potenzreihen existiren, welche in ß(a;|a) fort 
zusetzen sind, nur einen Werth, so heifst sie eine eindeutige analy 
tische Function. Die durch ein einziges Element vollständig dargestellte 
analytische Function ist darnach gewifs eindeutig. 
Erhält man bei den verschiedenen Übergängen eine endliche An 
zahl oder unendlich viele von einander verschiedene Elemente 
ß*OK) 0 = 1,2,3...), 
so heilst die durch ß (x \ a) definirte mouogeue analytische Function 
viel- oder mehrdeutig, und zwar endlich oder unendlich vieldeutig. 
Die Function hat an der Stelle x 0 so viel Werthe, als es Elemente 
ßv(#| £ 0 ) gibt und dabei wird ein Werth mehrfach gezählt, wenn die 
Anfangsglieder mehrerer Elemente ß v (a;|ic 0 ) gleich sind. — ln dem