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Drittes Capitel. II. Abschnitt.
gemeinsamen Couvergeuzbereiche zweier Elemente können aber nicht
unendlich viele Stellen mit der Häufungsstelle x 0 liegen, für welche die
Elemente gleiche Werthe haben, sonst wären sie identisch.
Setzt man, von dem gemeinsamen Convergeuzbereiche der n Ele
mente einer w-deutigen Function ausgehend, die gegebenen Reihen
^]3 V {x\x 0 ) durch Vermittlung derselben Stellen nach x x fort, so heifsen
die 11 nothweudig wieder von einander verschiedenen Elemente
¿ij , ¿*2 > • • • a mj 3/j)
simultane Elemente der w-deutigen Function und die Werthe der An-
faugsglieder dieser Reihen simultane Functionswerthe.
§ 34. Allgemeine Betrachtungen über die eindeutigen
analytischen Functionen.
Die Gesammtheit der Stellen x 0 , in deren Umgebung die durch
ein primitives Element definirte eindeutige Function f{x) durch eine
Poteuzreihe dargestellt ist, heifse der Stetiglceitsherdch der Function.
Dieser Bereich ist nothweudig begrenzt, d. h. es gibt Stellen, in deren
Umgebung keine aus dem primitiven Elemente ^3(#(a) ableitbare Po
teuzreihe existirt, und zwar darum, weil jedes Element mindestens
eine solch singuläre Stelle auf der Grenze seines Convergenzbereiches
besitzt und die singuläre Stelle c des einzelnen Elementes singuläre
Stelle derjenigen Fortsetzungen bleibt, welche Stellen der kleinsten
Umgebung von c in ihrem Couvergeuzbereiche enthalten. Ob die
Reihe ^3, (&•)#') direct oder indirect aus ^3(¿c|a) abgeleitet ist, die
Stelle c kann nicht in ihrem Convergeuzkreise liegen, sonst gäbe es
auch eine Reihe ^(¡»(c), die an unendlich vielen Stellen mit ^3(^1«)
übereinstimmte.
Die Grenzstelleu des Stetigkeitsbereiehes der eindeutigen Function
können eine isolirte Punktmenge bilden oder eine Punktmenge der
Beschaffenheit, dafs in jeder Umgebung jeder Stelle unendlich viele
andere Grenzstelleu liegen, oder endlich Punktmengen, die aus Mengen
der genannten Arten zusammengesetzt sind, sie können aber niemals
ein zweifach ausgedehntes Contiuuum constituiren, denn sie sind sin
guläre Stellen ihrer Elemente, und darum gibt es in jeder Umgebung
einer Grenzstelle auch Stellen, in deren Umgebung ein Element der
Function existirt. Die in Rede stehenden Grenzstellen nennt man
singuläre Stellen der Function.
Die Gesammtheit F der singulären Stellen c einer eindeutigen
analytischen Function bildet auch eine abgeschlossene Menge (die ihre
abgeleitete Punktmenge F' enthält), denn eine Stelle e , in deren klein
ster Umgebung unendlich viele singuläre Stellen liegen, kann nicht
dem Stetigkeitsbereiche der Function angehören, weil man nämlich
