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Erstes Capitel.
heilst die gröfsere, die andere die kleinere. Dieses gegenseitige Ver
hältnis bezeichnet man durch a > b, b < a, wenn a die gröfsere
Zahl ist. Mit a — b gilt b = a, mit a — b und b — c wird a — c,
und endlich folgt aus
a > b und b > c, a > c.
Will man die Vorstellung von der Zusammensetzung eines aus ver
schiedenartigen Elementen bestehenden Gegenstandes gewinnen, so
raufs man angeben, welche Arten von Elementen und wie viele Ele
mente der angegebenen Art Vorkommen. Die zusammengesetzte Vor
stellung der einzelnen Gruppen gleichartiger Elemente ist die „zusam
mengesetzte Zahl oder Zahlengröfse“. Man sagt „Zahlengröfse“ darum,
weil die neue Zahl anders ausfallt, wenn man Elemente hinzufügt
oder wegnimmt.
Zwei complexe Zahlen sind wieder gleich, wenn sie dieselben Ele
mente in gleicher Anzahl enthalten.
Wir betrachten vor allem die aus gleichen Elementen gebildeten
Zahlen, welche ganze Zahlen genannt werden, und nehmen einfache
Verknüpfungen mit ihnen vor, zu denen ursprünglich erfahrungsgemäfs
festgestellte Eigenschaften von Dingen der Sinnenwelt die Veranlassung
gegeben haben werden.
Wir bilden eine Zahl, die alle Elemente zweier aus demselben
Grundelement zusammengesetzten Zahlen a und b enthält.*)
Diese stets ausführbare Operation heilst Addition und besteht in
der Vereinigung sämmtlicher Elemente beider Zahlen zu einer. Be
zeichnet man die gewonnene Zahl mit a -f- b, so ist offenbar
a ~J- b = b —j— a
und ebenso
a-\-h-{-c — a-\-c-\-b = b-{-a-\-c
= b-\- c ~\- a = c ~{' a ~\~b = c-\-b-{- a
d. h. das Resultat der Vereinigung oder „die Summe“ ist unabhängig
von der Folge, in welcher die Summanden a,b, c verbunden werden.
Neben diesem „commutativen“ Verknüpfungsgesetz besteht das in der
Gleichung
a -j— (b -J- c) = (a -j- &) -f- c
ausgesprochene, welches besagt, dafs die Summe auch von der Ver
einigung der Summanden in Theilsummen unabhängig ist. Dieses Ge
setz heifst das associative.
In der Summe kann man ferner jeden Summanden durch eine
diesem gleiche Zahl ersetzen.
*) Soll das Grundelement e, aus dem eine Zahl im Gegensatz zu der aus
der Einheit gebildeten Zahl a zusammengesetzt ist, besonders kenntlich gemacht
sein, so schreiben wir statt a ac.