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Drittes Capitel. II. Abschnitt. 
Der so definirte Werth braucht nicht direct durch die Substitution 
x=x 0 aus der Reihe ^(#1 h) hervorzugehen, da eine Potenzreihe nur 
in ihrem Convergenzbereiche stetig sein raufs. 
Aus diesen Betrachtungen geht hervor, dafs eine eindeutige ana 
lytische Function an einer singulären Stelle c, wo eine der in dem 
Stetigkeitsbereiche bestehenden Eigenschaften der Endlich-, Stetig- und 
Eindeutigkeit verloren gehen mufs, nicht einen von demjenigen end 
lichen Grenzwerthe verschiedenen endlichen Werth besitzen kann, nach 
welchem 'die aus einem Elemente mit der singulären Stelle c entsprin 
genden Fuuctionalwerthe convergiren, sofern die Variabelnwerthe aus 
dem Innern des Convergenzbereich.es des genannten Elementes nach 
c convergiren, d. h. die analytische Function kann keine endlichen Dis- 
continuitäten an ihren singulären Stellen erleiden. 
ln der That: sei fix) eine analytische Function mit solch einer 
singulären Stelle c, so wird {x — c).f(x) in der Umgebung von c re 
gulären Verhaltens sein und die das Product darstellende Potenzreihe 
hat die Gestalt 
GO 
(x — c) 5p {x — c) = ^c v (x — c) v , 
V—l 
weil das Product für x — c verschwindet; dann aber ist f\x) in der 
Umgebung von c regulär und die Voraussetzung ist nicht zulässig. 
Die Function kann an einer singulären Stelle c auch nicht dadurch 
vieldeutig sein, dafs sie daselbst bei einer endlichen oder unendlichen 
Anzahl verschiedener Annäherungen mit den Variabelnwerthen ver 
schiedene aber endliche Werthe annimmt, denn es gäbe immer noch 
Potenzreihen die mit gewissen, aus dem primitiven Elemente 
abgeleiteten Reihen, deren Couvergenzkreise die singuläre Stelle c be 
sitzen, an unendlich vielen Stellen mit der Häufungsstelle c überein 
stimmten, und übrigens wäre auch (x — c) f{x) und dann /‘(^regulär. 
Also auch dieses Verhalten ist zufolge der Definition der singulären 
Stelle nicht möglich. 
Die eindeutige analytische Function wird demnach an den singu 
lären Stellen jedenfalls unendlich und gleichzeitig vielleicht auch viel 
deutig. Diese Möglichkeit kann man hier nicht ausschliefsen, denn 
die letzten Argumentationen verlieren nun ihre Berechtigung. Fine 
eindeutige analytische Function, die aber überhaupt nicht unendlich 
wird, gibt es nicht, oder — was dasselbe sagt — eine solche Function 
kann nur eine Constante sein. 
Um die Art des Unendlichwerdens zu fixireu, suchen wir zunächst 
die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dafs eine eindeu 
tige analytische Function fix) an einer Stelle x 0 endlich und stetig 
bleibt.