Begriff der monogenen analytischen Function. 
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Wenn x 0 eine Stelle des Stetigkeitsbereiches der Function f (x) 
ist, so convergirt das Product (x—x 0 ) fix) nach Null, auf welchem 
Wege immer die Variable nach x 0 rückt. Dasselbe gilt von dem Pro 
ducte der Function fix) und einer in der Umgebung von x 0 regulären 
und für x = x Q verschwindenden Function. Ist aber umgekehrt 
[{x — x¿) f\x)G =0, 
so wird f ix) in der Umgebung von x rt durch eine Potenzreihe dar 
gestellt. 
In der That: nehmen wir zuerst an, dafs das Product {x — xf) fix) 
bei irgend einer Annäherung von x an die Stelle x 0 nach dem end 
lichen Werthe a convergirt, so ist die analytische Function ix—x (t )fix) 
in der Umgebung von x 0 regulären Verhaltens und es existirt eine 
Darstellung: 
ix. — x 0 ) fix) = a 0 + ix— x 0 ) ^ Olx 0 ) = 2a v ix — x o y. 
Hieraus folgt, dafs 
f a { + a 2 ix—x Q ) + a z {x — tf 0 ) 2 -f- • • • 
ist und f{x) wird an der Stelle x 0 unendlich grofs, solange a () von 
Null verschieden ist. Ist aber 
[(* - №)] =0, 
so mufs a () verschwinden, und fix) ist in der Umgebung von x 0 end 
lich und stetig. Die verlangte Bedingung ist somit gefunden. 
Trifft man nun die Unterscheidung; Entweder gibt es eine ganz 
zahlige Potenz von ix — c) derart, dafs das Product von fix) und 
dieser Potenz eine in der Umgebung der singulären Stelle c reguläre 
Function ist, oder es gibt keine solche Potenz, und nennt man in 
dem ersten Falle die singuläre Stelle eine aufserwescntlieh, in dem 
zweiten Falle eine wesentlich singuläre, so erhellt, dafs die analytische 
Function in der Umgebung einer aufserwesentlich singulären Stelle in 
der bestimmten Gestalt 
co 
f{ x ) = {x l C )m + «i 0 “ c) + a 2 ix~cf H ] =2 a e i x ~ C T 
u r= —m 
darstellbar ist, wo m eine positive ganze Zahl gleich oder gröfser als 
Eins bedeutet und a 0 von Null verschieden ist. Ferner wird fix) für 
jeden unendlich kleinen Werth von \x — c\ unendlich grofs und es 
gilt f\x) = co.*) 
*) S. Weierstrafs: Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen 
(in den Abhaudl. der Berliner Akad. 1876 oder in den Abhandlungen aus der 
Functionenlehre S. 2).