Begriff der monogenen analytischen Function. IS3 
wo die ganzen Zahlen m uud n auch Null sein können, so wird der 
Quotient 
<?.(») _ (r _ ^+^...+1 («-«)-<— 
1 «) + •" 
in der Umgebung von c nach Null oder 
oder unendlich couvergiren, 
je nachdem m— n positiv, Null oder negativ ist. Nur in der Umgebung 
der üuendlichkeitsstellen c des Quotienten kann man keine Potenz 
reihe iß (x | c) hersteilen, welche mit dem Quotienten übereinstimmt, 
daher reicht der Convergenzbereich des ursprünglichen Elementes iß (x) 
bis an die der Stelle Null nächstliegeude Unendlichkeitsstelle des 
Quotienten, d. h. bis au die nächste nfache Nullstelle des Neuners 
G 2 {x), welche für den Zähler G, {x) Nullstelle niedrigerer Ordnung ist. 
Hier heilst eine Nullstelle c wieder wfach, wenn die Entwicklung 
der ganzen Function G(x) in der Umgebung von c mit dem Gliede 
w ler Potenz beginnt oder wenn die Ableitungen der ersten n — 1 Ord 
nungen für x — c verschwinden. 
Hat die ganze Function G 2 {x) im Endlichen keine Nullstelle, so 
muls der Quotient wieder in eine beständig convergente Reihe zu 
Cf"2 
entwickeln sein oder eine ganze Function definiren. 
An diesen Satz schliefst sich unmittelbar das Fundamentaltheorem 
der ganzen rationalen Function: 
Jede ganze rationale Function G{x) hat Nullstellen, 
denn andernfalls müfste ja 1 , wo g(0) natürlich von Null verschie- 
g (x) 
den vorausgesetzt wird, eine ganze Function sein, doch das ist nicht 
möglich, weil mau eine Gröfse r so angeben kann, dafs \g(x)\ für 
alle Werthe von x aufserhalb der Umgebung r von x — 0 gröfser 
wird als eine vorgegebene Gröfse und dann keine Werthe in dem ge 
nannten Bereiche existireu, für welche auch 
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eine angegebene Gröfse. 
Dieser Beweis rührt von Weierstrafs her. 
gröfser wird als 
§ 35. Endlich vieldeutige analytische Functionen. 
Wir wollen auch die aus einer gegebenen Potenzreihe entsprin 
gende mehrdeutige analytische Function im Allgemeinen untersuchen. 
Es sei also eine convergente Potenzreihe gegeben und es 
sei bekannt, dafs bei den unendlich vielen Übergängen von a nach 
einer Stelle x 0 eine endliche Anzahl von einander verschiedener Ele 
mente $Pi(x|x 0 ), (x\x 0 ), ... %{x|x 0 ) 
hervorgehen. Jedes dieser Elemente besitzt mindestens eine sin-