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Drittes Capitel, II. Abschnitt. 
guläre Grenzstelle, in deren Umgebung keine aus abgeleitete Reihe 
existirt, die mit iß, an unendlich vielen Stellen übereinstimmt. Ver 
schiedene Elemente können auch dieselbe singuläre Grenzstelle haben; 
daher ist es möglich, dafs gerade x 0 auch singuläre Greuzstelle wei 
terer aus S${x\a) abgeleiteter Potenzreihen ist; setzen wir aber fest, 
dafs dies nicht der Fall sei, so definirt die ursprüngliche Reihe eine 
n deutige analytische Function. 
Die n Elemente setze man auf gleichem Wege, d. h. durch 
Vermittlung derselben Stellen fort. Die Werthe simultaner Fort 
setzungen au einer Stelle x x ihres gemeinsamen Convergenzbereiches 
sind die n Werthe der Function für CO — CO j • Die Gesarnmtheit der 
jenigen Elemente, welche aus einem Elemente (# (# 0 ), aber bei glei 
chen vermittelnden Stellen aus keinem der übrigen Anfaugselemente 
^, t (i£|# 0 ) hervorgeheu, constituirt einen Zweig der mdeutigeu Function. 
Jeder der m Zweige verhält sich insofern wie eine eindeutige 
Function, als er au jeder Stelle seines Stetigkeitsbereiches, der durch 
die Gesarnmtheit der regulären Stellen des Zweiges zu definiren ist, 
nur einen Werth besitzt, aber er besteht nicht als ein abgeschlossenes 
Ganze, sondern nur in Zusammenhang mit den übrigen Zweigen, denn 
mau kann von jedem Elemente eines Zweiges zu jedem Elemente irgend 
eines anderen gelangen. Es ist darum auch nicht erlaubt, von vorn 
herein zu behaupten, dafs der einzelne Zweig an den Greuzstellen 
seines Stetigkeitsbereiches wie die eindeutige analytische Function un 
endlich wird. 
Es läfst sich aber beweisen, dafs die endlich mehrdeutige ana 
lytische Function unendlich werden mufs, und zwar dadurch, dafs 
mindestens einer ihrer Zweige unendlich wird. 
Bilden wir aus den n zusammengehörigen Functiouselementen 
fl 0» I So) > f 2 01 %) • • • f » {X | x 0 ) 
die n elementarsymmetrischen Ausdrücke 
+ f 2 + ‘ ' ' 4“ f» 
fl $2 “h $3 ~f“ * • ' + f»—ifn 
f,f 2 --.f«, 
die in dem gemeinsamen Convergeuzbereiche der n Elemente selbst in 
Potenzreihen 
f i (x | X 0 ), ^ v 2 {x) x 0 ),... f„ (X1 x 0 ) 
zu entwickeln sind, so haben wir n eindeutige analytische Functionen 
f\{x), f 2 {x),. ..f n {x) 
definirt. — Heifseu nämlich die in der Umgebung einer Stelle x y ex- 
istirenden simultanen Elemente