186 Drittes Capitel. II. Abschnitt, 
und somit 
D\ M + Vi i x o) + • * • + y n {xo) = /1 (#0) 
ViK) y-ii x 2) + V\ W H h y n - 1O«) ij n (a 0 ) = /;(x- 0 ) 
!/i G^’o) y->(. x vi) • • • yn(p0) ~ /»(^o)> 
so erhellt, dafs die « besagten Werthe y v {x 0 ) die n Lösungen der al 
gebraischen Gleichung 
sind. 
r — /1W 2/” _1 H h (— 1 Yfn (s„) = 0 
Dieselbe Gleichung besteht offenbar für alle Systeme von y Wer- 
then, die den Stellen x 0 ' des gemeinsamen Convergenzbereiches der 
Reihen {x|xf) angeboren, wenn nur das Argument der eindeutigen 
Functionen f\ t {x) in xf abgeändert wird, dann aber gilt für jedes Sy 
stem simultaner Fuuctionalwerthe die Gleichung 
Vn— /1 (®) + / 2 0) V n ' 
+ (-1)”/'.(») = 0. 
Man sagt daher: Die n Elemente y fl =S$ ll {x|^ 0 ) und deren simultane 
Fortsetzungen genügen einer algebraischen Gleichung, in welcher die 
Coefficienten eindeutige Functionen sind und drückt damit aus, dafs 
die Substitution von 
y = und f\ L {x) = ^ (s|a? 0 ; 
eine identisch verschwindende Potenzreihe hervorruft. 
Ist nunmehr bewiesen, dafs die mleutige analytische Function als 
Lösung einer algebraischen Gleichung mit eindeutigen Coefficienten zu 
betrachten ist, so folgt auch, dafs jedenfalls einer der Coefficienten 
unendlich werden mufs, wenn ein Zweig der Function y und diese selbst 
unendlich wird. 
Es sei y n = ^>„(#1#,,) ein Element eines Zweiges mit der singu 
lären Stelle c, an welcher der Zweig unendlich ist, aber c gehöre 
noch dem Convergeuzbereiche der übrigen (n— 1) Elemente ^n{x\xf) 
an. Bildet man dann die Potenzreiheu, in welche sich die (n — 1) 
Ausdrücke 
‘ ’ + ?n-! 
'4h ^2 + ‘ ‘ 
$1 4*2 • • • ?«- 1 
entwickeln lassen, sie heifsen 
h 0 I x o)» £2 01 »0)»• • • N-i ( x I x o) > 
so sind die Coefficienten f v (x) in der Umgebung der Stelle x Q der Reihe 
nach durch 
.