Begriff der monogenen analytischen Function. 
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% OK) = PiOK) + 
{X I Xq) == Pv' (X | *^0) “(~ pv'—1 (X | Xq) . {X 1X^ (V — 2,3... fl 1) 
{x |tf 0 ) = p M _i {x I x 0 ). g$„ (x | X 0 ) 
darzustellen, aber man kann aus diesen Reihen nicht n Potenzreiheu nach 
(x — c) bilden, weil ^ n {x\x^) unendlich wird, wenn x nach c convergir!. 
Daun muís uni ^ fn{x) die singuläre Stelle c besitzen, aufser 
wenn p n _x(c|a? 0 ) verschwindet. In diesem Falle muís ^ ra -i(¿r|# 0 ) und 
f n 1 (x) die singuläre Stelle c haben, wenn nur [p(#|# 0 )] von Null ver- 
X — C 
schieden ist. Ist aber p(c|#) gleich Null und verschwinden alle Po 
tenzreihen an der Stelle x = c, so mufs uothwendig der letzte Coef- 
iicient f\{x) die singuläre Stelle c besitzen. Einer der Coefficienten 
f fl {x) wird also in der That an der Stelle c unendlich. 
Denken wir nun eine n deutige analytische Function y direct durch 
eine algebraische Gleichung definirt, deren Coefficienten eindeutige 
analytische Functionen sind, und will man diejenigen Stellen finden, 
au denen mindestens ein Zweig der Function unendlich wird, so suche 
man die Grenzstellen des gemeinsamen Stetigkeitsbereiches dieser ein 
deutigen Functionen. Sind die Coefficienten ganze Functionen, so wird 
die Stelle 00 die einzige Unendlichkeitsstelle. 
Die vorstehenden Beweise sind nicht mehr anwendbar, wenn es 
sich um unendlich vieldeutige monogene analytische Functionen han 
delt, denn die Summe unendlich vieler Elemente ^u(#|£ 0 ) oder irgend 
eine der früher benützten Combinationeu, die nun bis auf die letzte 
immer aus unendlich vielen Summanden bestehen, braucht keinen Be 
reich gleichmäfsiger Convergenz zu besitzen, und wir können die 
Reihen ^<(#1 x 0 ) nicht mehr bilden. Wir dürfen nicht schliefsen, 
dafs die unendlich vieldeutige analytische Function auch unendlich 
werden müsse, und es erscheint möglich, dafs unendlich vieldeutige 
Functionen existiren, die nirgends unendlich werden; doch der Stetig 
keitsbereich oder der Bereich regulärer Stellen einer solchen Function 
mufs auch begrenzt sein. — 
Es ist jetzt noch zu erwägen, was man aus dem einzigen Umstande 
schliefsen kann, dafs einem Elemente mehrere Potenzreiheu 
(#(#!) (v = 1,2...) entspringen. Der Einfachheit halber nehmen 
wir au, dafs wir es mit einer zweideutigen monogenen analytischen 
Function zu thun haben. 
Ist das Element |¿Cj) durch Vermittlung der Stellen a 2 , 
... a n und der Reihen 
-Pl (x | X 0) (x | Xq , ttj, íí 2 ) j • . . {X | Xq, , 0/2) • • • dn) 
aus ißj (# | # 0 ) abgeleitet, so kann man auch noch unendlich viele andere