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Drittes Capitel. II. Abschnitt. 
Es ist aber wohl zu beachten, dais aus der Aussage allein: Eine 
zweideutige Function hat an der Stelle c einen und nur einen Werth, 
noch nicht geschlossen werden kann, dais sie sich dort verzweigt, 
denn die Function kann in der Umgebung dieser Stelle durch zwei 
Potenzreihen darstellbar sein, die einfach in den Aufangsgliedern über- 
einstimmeu. Die Verzweigungsstelle muís zudem eine solche sein, in 
deren Umgebung kein Zweig regulären Verhaltens ist. Es ist deshalb 
nicht jeder mehrfache Punkt (an welchem die Functionalwerthe Über 
einkommen) Verzweigungspunkt, aber jeder Verzweigungspunkt mehr 
facher Punkt, und zwar wird die wdeutige monogene analytische Func 
tion Verzweigungsstellen 1,2, 3... (n — l) ter Ordnung aufweisen können, 
an denen 2, 3 usw., endlich alle n Zweige Zusammenhängen, jedenfalls 
aber mufs jeder Zweig mit jedem andern, sei es direct oder sei es in- 
direct, verzweigt sein. — 
Es sollte nun unsere Aufgabe sein, die voranstehenden Unter 
suchungen auf den Fall von Poteuzreihen mehrerer Variq,belu auszu 
dehnen. Wenn wir wieder von einer Potenzreihe 
$ (#!, x 2 , ... x n | (a)) 
mit dem Convergenzradius JR ausgehen, und durch die Gesammtheit 
der ineinander fortsetzbaren, dem gegebenen Elemente entspringenden 
Potenzreihen die monogene analytische ein- oder mehrdeutige Function 
definiren und den Stetigkeitsbereich der mdeutigen Function durch die 
Gesammtheit der Stellen bestimmen, in deren Umgebung m reguläre 
Elemente existiren, haben wir zunächst das Verhalten der eindeutigen 
Function an den Grenzstellen zu untersuchen und als erste Aufgabe 
erscheint die Bestimmung der uothwendigeu und hinreichenden Be 
dingung dafür, dais die analytische Function au einer Stelle (rr< 0) ) 
endlich und stetig bleibt. 
Die nothwendige Bedingung besteht gewifs darin, dafs das Pro 
duct der Function /‘(¿c, , x 2 ,... x n ) und einer an der Stelle (x (0) ) ver 
schwindenden Potenzreihe $ 2 ' {x x , x 2 ,. . . x n | (# ( 0 0) )) in der Umgebung 
von (#( 0) ) regulär und für x v = x< 0) {y — 1, 2, ... n) Null wird. Will 
man aber erfahren, ob diese Bedingung auch hinreichend ist, so mufs 
man aus 
f. i x \ i x 2 ,... x n ((x(°>)) 
den Quotienten 
entnehmen und erst fragen, wie sich dieser verhält. Man gelangt 
also zu einem Ausdruck, dessen Untersuchung wir schon früher ver 
schoben haben, als es sich darum handelte, aus gegebenen Potenz 
reihen neue abzuleiten (S. 155). Auch hier genüge uns vorderhand der 
Begriff der analytischen Function mehrerer Variabeln. —