Viertes Capitel, 
über den Umfang des Begriffes der analytischen Function. 
I. Abschnitt. 
Theorie der algebraischen Gleichungen. 
§ 36. Einleitung. 
Mit den bisherigen Definitionen hat die allgemeine Functionen- 
theorie insoweit einen bestimmten Inhalt, als genau formulirt ist, was 
für veränderliche Gröfsen als Functionen bezeichnet werden; doch der 
bestimmt gewählte Begriff einer analytischen Function wird erst da 
durch von Bedeutung, dafs man die durch irgend einen arithmetischen 
Zusammenhang defiuirten Gröfsen als analytische Functionen erkennen 
lernt. Wenn aber einmal gezeigt ist, dafs der Functionsbegriff die 
irgendwo in Rechnung tretenden Gröfsen wirklich umfafst und nicht 
zu eng gewählt ist, dann kann man andrerseits bei der Frage nach 
Gröfsen von bestimmt analytisch ausdrückbarer Eigenschaft stets ver 
langen, dafs die gesuchte Gröfse in einem endlichen, wenn auch noch 
so kleinem Bereiche der unabhängigen Variabein eine analytische 
Function, und dort als solche durch eine convergente Potenzreihe dar 
stellbar sei. Aus der primitiven Reihe, deren unbestimmte Coefficienten 
mit Hilfe der Voraussetzung bestimmt werden, dafs das Element die 
Eigenschaft der gesuchten Function besitze, geht durch Fortsetzung 
eine analytische Function hervor, welche in ihrem ganzen Giltigkeits 
bereich die verlangte Beschaffenheit aufweist, wenn die gefundene 
Potenzreihe wirklich convergent ist. Wir ziehen dabei gewifs nur Zahlen- 
gröfsen in Betracht, welche in der arithmetischen Einleitung als in 
der Rechnung zulässige bezeichnet waren. 
Nach dieser kurzen Andeutung zweier Aufgaben der Functionen 
theorie, die den Gang für die ferneren Untersuchungen vorzeichnen, 
wenden wir uns gleich zu der Frage, ob eine von n unabhängig ver 
änderlichen Gröfsen x x , x 2 , . . . x n abhängige Grölse y, weiche durch 
eine Gleichung m ten Grades in y defiuirt sei, in welcher die Coefficienten 
Bieiuiauu, Functioueutheorie. 13