Über den Umfang des Begriffes der analytischen Function. 195
Fafst man die ursprüngliche Gleichung ins Auge, so kann man
nur sagen, y hat an einer Stelle des gemeinsamen Stetigkeits
bereiches der (m -f- 1) Functionen (w — w) unendlich kleine Wurzeln,
wenn die letzten {m — n) Coefficienten ip daselbst unendlich kleine
Werthe annehmen und ip () {xf^, x^, . . . x^) nicht unendlich klein ist.
In ähnlicher Weise zeigt mau, dais n Wurzeln y unendlich grofs
werden, wenn die ersten n Coefficienten i¡j 0 , i¡j 1} ... unendlich
kleine Werthe annehmen und keiner der übrigen Coefficienten unend
lich grofs ist.
Damit ist auch leicht bewiesen, dafs die endlichen Wurzeln
Vf ■ ■ ■ y { m >
welche einer Stelle (x^) des Stetigkeitsbereiches der Coefficienten ent
sprechen, mit den Coefficienten stetig veränderlich sind. Denn wählen
wir in einer Umgebung von (a^) eine Stelle (#(°) -f- £), au welcher x 0
von Null verschieden ist, so werden in den zugehörigen Wurzeln
yf + ^ 0 = 1, 2 . . . m)
die Incremente rj^ mit den £„ unendlich klein. Substituirt man zu
nächst in F{y, x 1} x 2 , ... x n ) an Stelle von x v , x v -j- | r , so entsteht
eine Gleichung:
y m M x n + r'-'iViXn H h + y rn xo + y m ~ l Ix H
’ * “f“ %m = 0 >
wo {iP/Li) x c>) für ipnix^, x^ . , . x^) gesetzt ist und Functionen von
£,, £ 2 • • • £« sind, die mit diesen Gröfsen unendlich klein werden.
Hier gibt die Substitution von y^ -|- r¡^ an Stelle von y@] einen Aus
druck der Gestalt:
F{r¡ , x[V, af, . . .af) + S t , U • • . I«) = 0,
worin O mit den und F mit rj^ unendlich klein wird, so dafs einer
der Werthe von rj^ gewifs nach Null convergirt. Weil das aber für
jedes rj^ zutrifi't, so erscheint wirklich die unendlich kleine Werth-
änderuug der Coefficienten, bei welcher nicht Null wird, mit einer
unendlich kleinen Änderung der Werthe von y verbunden, d. h. die
Wurzeln einer Gleichung F — 0 ändern sich stetig mit den Coeffi
cienten, solange wir uns auf die Umgebung solcher Stellen des ge
meinsamen Stetigkeitsbereiches der letzteren beschränken, für die der
Coefficieut der höchsten «/-Potenz nicht verschwindet.
Diese Eigenschaft der zu untersuchenden m-deutigeu Gröfse haben
wir hier vorausgeschickt, um uns in dem Falle einer algebraischen
Gleichung:
m
G(«/, Xj, x 2 , ... Xj^) = y m ffiip'i , x 2 , ... x n ) = 0,
/i=0
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