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Die Elemente der Arithmetik.
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a = «j b + c } (c < 6)
b = n 2 c -f- d, (d < c)
f = n m - ig -\- h (Ji < g)
g = n m h,
wo n X f n 2 . .. « m ganze Zahlen bedeuten.
Man wird, wie hier angezeigt ist, bei dem beschriebenen Fort
gang endlich eine Zahl f in ein Vielfaches einer Zahl g und einen
„liest“ h zu zerlegen haben, der selbst Theiler von g ist. Der Procefs
mufs einen Abschlufs haben, da es nur eine beschränkte Anzahl von *
Zahlen gibt, die kleiner sind als b. Die Zahl h ist aber (nach dem
SatzeS) auch Theiler von f und allen voranstehenden Zahlen, endlich
auch von b und a.
Den Satz 3) können wir folgendermafsen umkehren: Eine durch
m theilbare Zahl c läfst sich nur so in eine Summe zweier Summanden,
deren einer durch m theilbar ist, zerlegen, dafs auch der zweite diesen
Theiler besitzt. Dann aber ergibt die Betrachtung unserer Gleichungen,
dafs jeder gemeinsame Theiler von a und b auch ein Vielfaches von h
ist, und darum ist h der gröfste gemeinsame Theiler von a und b.
Ist in der Folge von Gleichungen schliefslich h gleich Eins, so
haben a und b nur den selbstverständlichen gemeinsamen Theiler Eins.
Indem man von diesem absieht, nennt mau solche Zahlen: Zahlen
ohne gemeinsamen Theiler oder relative Primzahlen.
Von diesen Zahlen gilt zunächst der Satz:
„Sind a und b relative Primzahlen, und ist h eine beliebige
dritte Zahl, so ist jeder gemeinsame Theiler von ah und b auch
Theiler von h und b. u
In der That, multiplicirt man in den früheren Gleichungen, wo
wir h = 1 setzen, die rechten und linken Seiten mit h, so erhält man
die Gleichungen
ah = w, bh -f- eh
bh = n 2 ch -{- dh
fh — n m —igh -f- h
gh = n ru h,
weil ja mit A — li auch Ah — Bh ist, und an diesen Relationen ist
die Behauptung leicht bestätigt. Jeder Theiler von ah und b ist auch
Theiler von n { bh und eh, dann von n 2 ch und dh usw., endlich von
fh, gh und h.
Mit diesem Satze sind die folgenden bewiesen:
1) Sind die Factoren eines Productes ah relative Primzahlen
gegenüber b, so sind ah und b relativ prim.